Задача 77857 Уравнение плоскости х-2у-3z-9=0 и точка...

просто хороший человек

20 июня 2024 г. в 07:55

Уравнение плоскости х–2у–3z–9=0 и точка А с координатами не помню какими. Нужно найти уравнение прямой, перпендикулярной данной плоскости и проходящей через эту точку. Также надо найти точку пересечения этой прямой с самой плоскостью

Удачник66

21 июня 2024 г. в 10:41

★

Плоскость: x – 2y – 3z – 9 = 0, точка A(x0; y0; z0)
Уравнение прямой, перпендикулярной к плоскости (нормали) и проходящей через эту точку построить очень легко:
[m]\frac{x - x0}{m} = \frac{y - y0}{n} = \frac{z - z0}{p}[/m]
Где m, n, p – коэффициенты при x, y, z у прямой.
В нашем случае:
[m]\frac{x - x0}{1} = \frac{y - y0}{-2} = \frac{z - z0}{-3}[/m]

Найти точку пересечения прямой и плоскости чуть сложнее.
Нужно переписать уравнение прямой в параметрической форме:
[m]\frac{x - x0}{1} = \frac{y - y0}{-2} = \frac{z - z0}{-3} = t[/m]
{ x = 1·t + x0
{ y = –2·t + y0
{ z = –3·t + z0
При каком–то значении t = t0 мы получаем координаты точки пересечения:
M(t0 + x0; –2t0 + y0; –3t0 + z0)
Но эта же точка принадлежит и плоскости, поэтому можно подставить:
(t0 + x0) – 2(–2t0 + y0) – 3(–3t0 + z0) – 9 = 0
t0 + x0 + 4t0 – 2y0 + 9t0 – 3z0 – 9 = 0
14t0 + (x0 – 2y0 – 3z0 – 9) = 0
[m]t0 = \frac{-x0 + 2y0 + 3z0 + 9}{14}[/m]
Осталось найти координаты точки пересечения:
M(t0 + x0; –2t0 + y0; –3t0 + z0)
Можно, конечно, выразить это всё в дробях, подставив t0, после упрощений получится:
[m]M(\frac{13x0+2y0+3z0+9}{14}; \frac{2x0+10y0-6z0-18}{14}; \frac{3x0-6y0+5z0-27}{14})[/m]
Но в практических задачах проще посчитать t0 и подставить его в M0.