Задача 77852 ...
Условие
{ẋ = -3x + 2y + 2e^(-t),
{ẏ = -2x + y.
Решение
Здесь нельзя нарисовать точку над буквой, поэтому я буду писать x' и y'.
{ x' = -3x + 2y + 2e^(-t)
{ y' = -2x + y
При этом мы понимаем, что x' = dx/dt, y' = dy/dt
Выразим x из 2 уравнения:
{ x' = -3x + 2y + 2e^(-t)
{ x = (y' - y)/(-2)
Возьмем производную x' как функцию от y, а не от t:
x' = (y'' - y')/(-2)
Подставляем в 1 уравнение:
(y'' - y')/(-2) = -3(y' - y)/(-2) + 2y + 2e^(-t)
Домножаем всё уравнение на -2:
y'' - y' = -3y' + 3y - 4y - 4e^(-t)
y'' + 2y' + y = -4e^(-t)
Получили обыкновенное неоднородное линейное уравнение 2 порядка.
Решаем однородное уравнение:
y'' + 2y' + y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + 2k + 1 = 0
(k + 1)^2 = 0
k1 = k2 = -1
Решение однородного уравнения:
y(o) = (C1*x + C2)*e^(-t)
Ищем частное решение неоднородного уравнения:
Так как в правой части e^(-t), и k = -1 - кратный корень характеристического уравнения, то
y(н) = Ax^2*e^(-t)
y(н)' = 2Ax*e^(-t) + Ax^2*e^(-t)(-1) = (-Ax^2 + 2Ax)*e^(-t)
y(н)'' = (-2Ax + 2A)*e^(-t) + (-Ax^2 + 2Ax)*e^(-t)(-1) = (Ax^2 - 2Ax - 2Ax + 2A)*e^(-t)
y(н)'' = (Ax^2 - 4Ax + 2A)*e^(-t)
Подставляем в уравнение:
(Ax^2 - 4Ax + 2A)*e^(-t) + 2(-Ax^2 + 2Ax)*e^(-t) + Ax^2*e^(-t) = -4e^(-t)
Сокращаем на e^(-t):
Ax^2 - 4Ax + 2A - 2Ax^2 + 4Ax + Ax^2 = -4
(Ax^2 - 2Ax^2 + Ax^2) + (- 4Ax + 4Ax) + 2A = -4
2A = -4
A = -2
Частное решение неоднородного уравнения:
y(н) = -2x^2*e^(-t)
Общее решение неоднородного уравнения:
y = y(o) + y(н) = (C1*x + C2)*e^(-t) - 2x^2*e^(-t)
y = (-2x^2 + C1*x + C2)*e^(-t)
Ищем функцию x.
y' = (-4x + C1)*e^(-t) - (-2x^2 + C1*x + C2)*e^(-t)
y' = (2x^2 - C1x - 4x + C1 - C2)*e^(-t)
x = (y' - y)/(-2)
x = [(2x^2 - C1x - 4x + C1 - C2)*e^(-t) - (-2x^2 + C1*x + C2)*e^(-t)] / (-2)
x = (4x^2 - 2C1x - 4x + C1 - 2C2)*e^(-t) / (-2)
x = (-2x^2 + C1x + 2x - C1/2 + C2)*e^(-t)
Ответ:
{ x = (-2x^2 + C1x + 2x - C1/2 + C2)*e^(-t)
{ y = (-2x^2 + C1*x + C2)*e^(-t)
Все решения
