Задача 77852 ...

Alg

17 июня 2024 г. в 03:52

Найти частное решение

{ẋ = –3x + 2y + 2e^–t,
{ẏ = –2x + y.

Удачник66

17 июня 2024 г. в 06:00

★

Я понимаю, что x и y с точкой – это производные по времени t в физике.
Здесь нельзя нарисовать точку над буквой, поэтому я буду писать x' и y'.
{ x' = –3x + 2y + 2e^–t
{ y' = –2x + y
При этом мы понимаем, что x' = dx/dt, y' = dy/dt
Выразим x из 2 уравнения:
{ x' = –3x + 2y + 2e^–t
{ x = (y' – y)/(–2)
Возьмем производную x' как функцию от y, а не от t:
x' = (y'' – y')/(–2)
Подставляем в 1 уравнение:
(y'' – y')/(–2) = –3(y' – y)/(–2) + 2y + 2e^–t
Домножаем всё уравнение на –2:
y'' – y' = –3y' + 3y – 4y – 4e^–t
y'' + 2y' + y = –4e^–t
Получили обыкновенное неоднородное линейное уравнение 2 порядка.
Решаем однородное уравнение:
y'' + 2y' + y = 0
Характеристическое уравнение:
k² + 2k + 1 = 0
(k + 1)² = 0
k1 = k2 = –1
Решение однородного уравнения:
y(o) = (C1·x + C2)·e^–t
Ищем частное решение неоднородного уравнения:
Так как в правой части e^–t, и k = –1 – кратный корень характеристического уравнения, то
y(н) = Ax²·e^–t
y(н)' = 2Ax·e^–t + Ax²·e^–t(–1) = (–Ax² + 2Ax)·e^–t
y(н)'' = (–2Ax + 2A)·e^–t + (–Ax² + 2Ax)·e^–t(–1) = (Ax² – 2Ax – 2Ax + 2A)·e^–t
y(н)'' = (Ax² – 4Ax + 2A)·e^–t
Подставляем в уравнение:
(Ax² – 4Ax + 2A)·e^–t + 2(–Ax² + 2Ax)·e^–t + Ax²·e^–t = –4e^–t
Сокращаем на e^–t:
Ax² – 4Ax + 2A – 2Ax² + 4Ax + Ax² = –4
(Ax² – 2Ax² + Ax²) + (– 4Ax + 4Ax) + 2A = –4
2A = –4
A = –2
Частное решение неоднородного уравнения:
y(н) = –2x²·e^–t
Общее решение неоднородного уравнения:
y = y(o) + y(н) = (C1·x + C2)·e^–t – 2x²·e^–t
y = (–2x² + C1·x + C2)·e^–t
Ищем функцию x.
y' = (–4x + C1)·e^–t – (–2x² + C1·x + C2)·e^–t
y' = (2x² – C1x – 4x + C1 – C2)·e^–t
x = (y' – y)/(–2)
x = [(2x² – C1x – 4x + C1 – C2)·e^–t – (–2x² + C1·x + C2)·e^–t] / (–2)
x = (4x² – 2C1x – 4x + C1 – 2C2)·e^–t / (–2)
x = (–2x² + C1x + 2x – C1/2 + C2)·e^–t

Ответ:
{ x = (–2x² + C1x + 2x – C1/2 + C2)·e^–t
{ y = (–2x² + C1·x + C2)·e^–t