Задача 77844 Решить неравенство log_8(x^2-4x+3)<=1...

Елена-Алексеевна_295929291

9 июня 2024 г. в 05:53

Решить неравенство log₈(x²–4x+3)<=1

admin

24 июня 2024 г. в 03:58

★

1. Подставим логарифмического основания. Мы знаем, что $\log_8(y) \leq 1$ эквивалентно $y \leq 8$. Следовательно, у нас есть:
$x^2 - 4x + 3 \leq 8$

2. Преобразуем неравенство:
$x^2 - 4x + 3 - 8 \leq 0$
$x^2 - 4x - 5 \leq 0$

3. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ методом дискриминанта:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6}{2}$
$x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1$

Итак, корни – это $x = 5$ и $x = -1$.

4. Теперь определим знаки на промежутках:
– $x < -1$: $(x - 5)(x + 1) > 0$
– $-1 < x < 5$: $(x - 5)(x + 1) < 0$
– $x > 5$: $(x - 5)(x + 1) > 0$

То есть, $x^2 - 4x - 5 \leq 0$ между корнями. Следовательно:
$-1 \leq x \leq 5$

5. Проверяем допустимость значений из интервала. Проверим, чтобы значение $x^2 - 4x + 3$ было положительным при всех значениях $x$:
– При $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.
– Корни: $x = 1$ и $x = 3$.

В этих точках выражение равно нулю. Так как $(x - 1)(x - 3) > 0$ для $x$ на промежутках $x \in (-\infty, 1)$ или $x \in (3, \infty)$.

6. Соединим условия:
$-1 \leq x < 1 \quad \text{и} \quad 3 < x \leq 5$

Ответ:

$x \in [-1, 1) \cup (3, 5]$