Задача 77844 Решить неравенство log_8(x^2-4x+3)<=1...

5f4e19cc6a894c0287cf31f4

6/9/2024 5:53:19 PM

Решить неравенство log_8(x^2-4x+3)<=1

5f282cfba9074b3a3bc0f013

6/24/2024 3:58:04 PM

★

1. Подставим логарифмического основания. Мы знаем, что [m] \log_8(y) \leq 1 [/m] эквивалентно [m] y \leq 8 [/m]. Следовательно, у нас есть:
[m]
x^2 - 4x + 3 \leq 8
[/m]

2. Преобразуем неравенство:
[m]
x^2 - 4x + 3 - 8 \leq 0
[/m]
[m]
x^2 - 4x - 5 \leq 0
[/m]

3. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения [m] x^2 - 4x - 5 = 0 [/m] методом дискриминанта:
[m]
D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36
[/m]
[m]
x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6}{2}
[/m]
[m]
x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1
[/m]

Итак, корни - это [m] x = 5 [/m] и [m] x = -1 [/m].

4. Теперь определим знаки на промежутках:
- [m] x < -1 [/m]: [m] (x - 5)(x + 1) > 0 [/m]
- [m] -1 < x < 5 [/m]: [m] (x - 5)(x + 1) < 0 [/m]
- [m] x > 5 [/m]: [m] (x - 5)(x + 1) > 0 [/m]

То есть, [m] x^2 - 4x - 5 \leq 0 [/m] между корнями. Следовательно:
[m]
-1 \leq x \leq 5
[/m]

5. Проверяем допустимость значений из интервала. Проверим, чтобы значение [m] x^2 - 4x + 3 [/m] было положительным при всех значениях [m] x [/m]:
- При [m] x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) [/m].
- Корни: [m] x = 1 [/m] и [m] x = 3 [/m].

В этих точках выражение равно нулю. Так как [m] (x - 1)(x - 3) > 0 [/m] для [m] x [/m] на промежутках [m] x \in (-\infty, 1) [/m] или [m] x \in (3, \infty) [/m].

6. Соединим условия:
[m]
-1 \leq x < 1 \quad \text{и} \quad 3 < x \leq 5
[/m]

Ответ:

[m] x \in [-1, 1) \cup (3, 5] [/m]