Задача 77843 В правильной треугольной пирамиде...

Jaiaiao

18 июня 2024 г. в 07:18

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро, равно 6см, наклонено
к основанию под углом 30°. Вычислите объем пирамиды.

Удачник66

18 июня 2024 г. в 07:35

★

Сторону основания обозначим а см, позже мы ее вычислим.
Смотрите рисунок.
Так как пирамида правильная, то основание ABC – равносторонний треугольник.
CM и AN – медианы, они же высоты и биссектрисы, пересекаются в центре O.
Высота пирамиды SO – тоже приходит в этот центр треугольника ABC.
Треугольник SOC – прямоугольный, угол SOC = 90°, угол SCO = 30°.
SO = H = SC·sin SCO = 6·sin 30° = 6·0,5 = 3 см.
CO = SC·cos SCO = 6·cos 30° = 6·√3/2 = 3√3 см.
По свойству медиан в равностороннем треугольнике:
CO = 2/3·CM, поэтому:
CM = 3/2·3√3 = 9/2·√3 см.
Но медиана равностороннего треугольника:
m = a·√3/2, отсюда:
a = 9/2·√3 : (√3/2) = 9 см
Площадь основания:
S(осн) = a²·√3/4 = 9²·√3/4 = 81/4·√3 см²
Объём пирамиды:
V = 1/3·S(осн)·H = 1/3·81/4·√3·3 = 81/4·√3 см³