Задача 77842 Следующие несобственные интегралы...

просто хороший человек

18 июня 2024 г. в 10:36

Следующие несобственные интегралы исследовать на
сходимость и в случае сходимости указать значения интегра–
лов. №6.19

Удачник66

18 июня 2024 г. в 10:54

★

1) $\int \limits_0^{\infty} \frac{dx}{x^2+9} = \frac{1}{3} \cdot arctg \frac{x}{3}\ |_0^{\infty}$
Верхняя граница равна oo, поэтому берем предел:
$\frac{1}{3} \cdot arctg \frac{x}{3}\ |_0^{\infty} = \frac{1}{3} \cdot (\lim \limits_{x \to \infty} arctg \frac{x}{3} - arctg 0) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}$
Считается, что arctg oo = π/2, потому что tg π/2 = oo.

2) $\int \limits_0^{\sqrt{2}} \frac{dx}{\sqrt{2-x^2}} = arcsin \frac{x}{\sqrt{2}}\ |_0^{\sqrt{2}} = arcsin \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - arcsin\ 0 = arcsin\ 1 = \frac{\pi}{2}$