Задача 77839 ...

просто хороший человек

18 июня 2024 г. в 09:40

2.19∫ от –1 до 0 (5 – 3x²) sin 5x dx

Удачник66

18 июня 2024 г. в 10:31

★

$\int \limits_{-1}^0 (5 - 3x^2) \sin 5x dx$
Берем интеграл способом по частям.
u = 5 – 3x²; dv = sin 5x dx; du = –6x dx; v = –1/5·cos 5x
При этом способе пределы интегрирования не меняются, в отличие от замены.
$\int \limits_{-1}^0 (5 - 3x^2) \sin 5x dx = -\frac{1}{5} \cdot (5 - 3x^2) \cos 5x\ |_{-1}^0 - \int \limits_{-1}^0 (-\frac{1}{5}) \cos 5x \cdot (-6x) dx =$
$= -\frac{1}{5} \cdot [(5 - 0) \cos 0 - (5 - 3) \cos(-5)] - \frac{6}{5} \int \limits_{-1}^0 x \cos 5x dx =$
$= -\frac{1}{5} \cdot (5 - 2 \cos 5) - \frac{6}{5} \int \limits_{-1}^0 x \cos 5x dx$
Снова применяем способ по частям.
u = x; dv = cos 5x dx; du = dx; v = 1/5·sin 5x
$-1 + \frac{2}{5} \cos 5 - \frac{6}{5} \int \limits_{-1}^0 x \cos 5x dx = -1 + \frac{2}{5} \cos 5 - \frac{6}{5} (\frac{1}{5} \cdot x \sin 5x\ |_{-1}^0 - \int \limits_{-1}^0 \frac{1}{5} \sin 5x dx) =$
$= -1 + \frac{2}{5} \cos 5 - \frac{6}{25} \cdot (0 - (-1)\sin (-5)) + \frac{6}{25} \cdot \frac{1}{5} (-\cos 5x)\ |_{-1}^0 =$
$= -1 + \frac{2}{5} \cos 5 - \frac{6}{25} \cdot \sin (-5) - \frac{6}{125} (\cos 0 - \cos(-5)) =$
$= -1 + \frac{2}{5} \cos 5 + \frac{6}{25} \sin 5 - \frac{6}{125} + \frac{6}{125} \cos 5 = \frac{56}{125} \cos 5 + \frac{30}{125} \sin 5 - \frac{131}{125}$

Ответ: $\int \limits_{-1}^0 (5 - 3x^2) \sin 5x dx = \frac{1}{125}(56\cos 5 + 30\sin 5 - 131)$