Задача 77825 ОЧЕНЬ ОЧЕНЬ НУЖНО. Доказать равномерную...
Условие
Решение
[m]\sum \limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}; \ \ \ A = [0;\ 1][/m]
Ряд из модулей:
[m]\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n};[/m]
Найдем область сходимости этого ряда по признаку Даламбера:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} : \frac{x^n}{n} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{x^n} \cdot \frac{n}{n+1} = x \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = x \cdot 1 = x[/m]
Как видим, этот предел не зависит от n и определяется только переменной x.
По признаку Даламбера, если [m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} < 1[/m], то ряд сходится.
Значит, ряд из модулей сходится, а знакопеременный ряд сходится абсолютно при:
|x| < 1
То есть на множестве:
x ∈ (-1; 1)
В частности, на множестве A = [0; 1] он сходится равномерно.