Задача 77823 Решить задачу по аналитической геометрии...

vlad05

16 июня 2024 г. в 12:04

Решить задачу по аналитической геометрии

Удачник66

16 июня 2024 г. в 03:56

★

Косинус угла между двумя прямыми на плоскости.
Если даны две прямые A1·x + B1·y + C1 = 0 и A2·x + B2·y + C2 = 0, то:
$\cos φ = \frac{A1 \cdot A2 + B1 \cdot B2}{\sqrt{A1^2+B1^2}\sqrt{A2^2+B2^2}}$
У нас одна прямая: x + 2y – 1 = 0, другая прямая: ax + by + c = 0, φ = arccos(1/√5)
Вторая прямая должна находиться на расстоянии s = 1 от точки A(1, 1).
Получаем уравнение:
$\cos φ = \frac{1 \cdot a + 2 \cdot b}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
$\frac{a + 2b}{\sqrt{5}\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
$\frac{a + 2b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 1$
$a + 2b = \sqrt{a^2+b^2}$
(a + 2b)² = a² + b²
a² + 4ab + 4b² = a² + b²
4ab + 3b² = 0
b(4a + 3b) = 0
1) b = 0, тогда прямая имеет вид:
ax + c = 0
x = –c/a – это вертикальна прямая. На расстоянии 1 от точки A(1; 1) будут две прямых:
x = 0 и x = 2 (1)

2) 4a + 3b = 0
4a = –3b
a = 3; b = –4
Уравнение прямой:
3x – 4y + c = 0 (2)
Теперь надо найти, при каких значениях с прямая будет на расстоянии 1 от A(1; 1).
Чтобы найти расстояние от точки до прямой, есть формула:
$s=\frac{|A \cdot x0 + B \cdot y0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
В нашем случае A = 3, B = –4, C = c, x0 = 1, y0 = 1:
$s=\frac{|3 \cdot 1 + (-4) \cdot 1 + c|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|3 - 4 + c|}{\sqrt{9+16}} = \frac{|-1+ c|}{\sqrt{25}} = \frac{|c-1|}{5} = 1$
Получаем:
|c – 1| = 5

1) c – 1 = –5
c = –4
2) c – 1 = 5
c = 6
Уравнения прямой:
3x – 4y – 4 = 0 и 3x – 4y + 6 = 0

Все прямые, и исходная, и 4 полученных, показаны на рисунке.
Углы φ выделены дугами.
Ответ: 4 прямых:
1) x = 0; 2) x = 2; 3) 3x – 4y – 4 = 0; 4) 3x – 4y + 6 = 0