Задача 77818 на фото №4...
Условие
Решение
Производная от дроби берется по известной формуле:
[m](\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}[/m]
В данном случае лучше найти числитель и знаменатель по отдельности.
Знаменатель найти просто:
[m](g(x))^2 = ((x^2+2) \sqrt{1+2x^3})^2 = (x^2+2)^2 (1+2x^3)[/m]
Находим числитель:
[m]f'(x)g(x) - f(x)g'(x) = (x-1)'(x^2+2) \sqrt{1+2x^3} - (x-1)[(x^2+2) \sqrt{1+2x^3}]' =[/m]
[m]= 1(x^2+2) \sqrt{1+2x^3} - (x-1)[(x^2+2)'\sqrt{1+2x^3} + (x^2+2)(\sqrt{1+2x^3})'] =[/m]
[m]= (x^2+2) \sqrt{1+2x^3} - (x-1)(2x \sqrt{1+2x^3} + (x^2+2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+2x^3}} \cdot 6x^2) =[/m]
[m]= (x^2+2) \sqrt{1+2x^3} - (x-1)(2x \sqrt{1+2x^3} + (x^2+2) \cdot \frac{3x^2}{\sqrt{1+2x^3}} =[/m]
[m]= (x^2+2) \sqrt{1+2x^3} - (x-1) \cdot \frac{2x(1+2x^3) + 3x^2(x^2+2)}{\sqrt{1+2x^3}} =[/m]
[m]= (x^2+2) \sqrt{1+2x^3} - (x-1) \cdot \frac{2x+4x^4+3x^4+6x^2}{\sqrt{1+2x^3}} =[/m]
[m] = \frac{(x^2+2)(1+2x^3) - (x-1)(7x^4+6x^2+2x)}{\sqrt{1+2x^3}} = \frac{x^2+2+2x^5+4x^3 - (7x^5+6x^3+2x^2-7x^4-6x^2-2x)}{\sqrt{1+2x^3}} =[/m]
[m]\frac{2x^5+4x^3+x^2+2 - 7x^5+7x^4-6x^3+4x^2+2x}{\sqrt{1+2x^3}} = \frac{-5x^5+7x^4-2x^3+5x^2+2x+2}{\sqrt{1+2x^3}} [/m]
Получаем производную:
[m]y' = \frac{-5x^5+7x^4-2x^3+5x^2+2x+2}{\sqrt{1+2x^3}(x^2+2)^2 (1+2x^3)} = \frac{-5x^5+7x^4-2x^3+5x^2+2x+2}{(x^2+2)^2 (1+2x^3)^{3/2}}[/m]
Сокращению эта дробь не поддается.
Дифференциал:
[m]dy = \frac{-5x^5+7x^4-2x^3+5x^2+2x+2}{(x^2+2)^2 (1+2x^3)^{3/2}} dx[/m]