Задача 77816 на фото №2...
Условие
Решение
[m]y(x0) = y(1) = 16 \sqrt{1} - 9 \sqrt[3]{1} - 2 = 16 - 9 - 2 = 5[/m]
M0(1; 5)
Уравнение касательной к кривой y(x) в точке M0(x0; y0):
[m]f(x) - y0 = y'(x0)(x - x0)[/m]
[m]y'(x) = 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2} - 9 \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{8}{\sqrt{x}} - \frac{3}{\sqrt[3]{x^2}}[/m]
[m]y'(x0) = y'(1) = \frac{8}{\sqrt{1}} - \frac{3}{\sqrt[3]{1^2}} = 8 - 3 = 5[/m]
Уравнение касательной:
f(x) - 5 = 5(x - 1)
f(x) - 5 = 5x - 5
f(x) = 5x
Уравнение нормали, которая перпендикулярна к касательной:
[m]n(x) - y0 = -\frac{1}{y'(x0)} \cdot (x - x0)[/m]
Коэффициент у касательной [m]k1 = y'(x0)[/m], а у нормали [m]k2 = -\frac{1}{y'(x0)}[/m]
по свойству перпендикулярных прямых:
[m]k1 \cdot k2 = -1[/m]
Поэтому:
[m]n(x) - 5 = -\frac{1}{5} \cdot (x - 1)[/m]
n(x) - 5 = -0,2x + 0,2
n(x) = -0,2x + 5,2