Задача 77815 Задание 1. Пользуясь только определением...
Условие
f (x) , если f (x) = 1/(x+1)2.
Решение
Сначала просто возьмем производную:
[m]f'(x) = -2(x+1)^{-3} = \frac{-2}{(x+1)^3}[/m]
По определению производная – это предел:
[m]\lim \limits_{Δx \to 0} \frac{f(x+Δx) - f(x)}{Δx}[/m]
Числитель упростим отдельно:
[m]f(x+Δx) - f(x) = \frac{1}{(x+Δx+1)^2} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{x^2+Δx^2+2xΔx+2x+2Δx+1}- \frac{1}{x^2+2x+1} =[/m]
[m]= \frac{x^2+2x+1}{(x^2+Δx^2+2xΔx+2x+2Δx+1)(x^2+2x+1)}- \frac{x^2+Δx^2+2xΔx+2x+2Δx+1}{(x^2+2x+1)(x^2+Δx^2+2xΔx+2x+2Δx+1)} =[/m]
[m]= \frac{x^2+2x+1 - x^2-Δx^2-2xΔx-2x-2Δx-1}{(x+1)^2(x+Δx+1)^2}= \frac{-Δx^2-2xΔx-2Δx}{(x+1)^2(x+Δx+1)^2}=\frac{-2Δx(Δx + x + 1)}{(x+1)^2(x+Δx+1)^2} =\frac{-2Δx}{(x+1)^2(x+Δx+1)}[/m]
Возвращаемся к пределу:
[m]\lim \limits_{Δx \to 0} \frac{-2Δx}{(x+1)^2(x+Δx+1)Δx} = \lim \limits_{Δx \to 0} \frac{-2}{(x+1)^2(x+Δx+1)} = \frac{-2}{(x+1)^2(x+0+1)} = \frac{-2}{(x+1)^3}[/m]
Всё получилось, как при обычном взятии производной.