Задача 77814 Равнобедренная трапеция с основаниями 2...

Мария_528127632

15 июня 2024 г. в 04:50

Равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3 см и острым углом 60° вращается вокруг меньшего основания. Найдите объем полученной фигуры вращения.

626fab9a354ab65fb2f43abb

15 июня 2024 г. в 10:08

★

Смотрите рисунки.

На рис. а) показана трапеция ABCD и ее высота CH = h.
Так как трапеция равнобочная, то:
HB = x = (AB – CD)/2 = (3 – 2)/2 = 1/2 = 0,5
Угол DAH = CBH = 60°.
BC = x/cos 60° = 0,5/0,5 = 1
h = CH = BC·sin 60° = 1·√3/2 = √3/2

На рисунке б) показано получившееся тело вращения.
Это цилиндр с радиусом R = h = √3/2 и высотой H(ц) = AB = 3.
Но в этом цилиндре вырезано два конуса.
Радиус конуса тот же R = h = √3/2, а высота конуса H(к) = x = 1/2.
Объем цилиндра:
V(ц) = π·R²·H(ц) = π·(√3/2)²·3 = π·3/4·3 = π·9/4
Объем конуса:
V(к) = 1/3·π·R²·H(к) = 1/3·π·(√3/2)²·1/2 = π·1/3·3/4·1/2 = π·1/8
Объем тела вращения:
V = V(ц) – 2·V(к) = π·9/4 – 2·π·1/8 = π·9/4 – π·1/4 = π·8/4 = 2π

Ответ: 2π