Задача 77811 18) y'' + 2y' + y = 3 e^(-x)sqrt(x + 1);...
Условие
Решение
Неоднородное линейное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем однородное уравнение.
y'' + 2y' + y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + 2k + 1 = 0
(k + 1)^2 = 0
k1 = k2 = -1
y(о) = (C1*x + C2)*e^(-x)
Ищем частное решение неоднородного уравнения.
Так как правая часть нестандартная, решаем методом вариации постоянных.
C1 = Z1(x); C2 = Z2(x)
y(н) = (Z1*x + Z2)*e^(-x) = Z1*x*e^(-x) + Z2*e^(-x)
Обозначим y1 = x*e^(-x), y2 = e^(-x)
y(о) = Z1*y1 + Z2*y2
Нам нужно решить систему:
{ Z1'*y1 + Z2'*y2 = 0
{ Z1'*y1' + Z2'*y2' = f(x)/a0
Здесь f(x) - правая часть уравнения,
a0 - коэффициент при y'', у нас a0 = 1, поэтому система:
{ Z1'*y1 + Z2'*y2 = 0
{ Z1'*y1' + Z2'*y2' = 3e^(-x)sqrt(x + 1)
Находим производные:
y1' = (x*e^(-x))' = 1*e^(-x) + x*e^(-x)*(-1) = e^(-x) - x*e^(-x) = e^(-x)(1 - x)
y2' = (e^(-x))' = -e^(-x)
Система:
{ Z1'*x*e^(-x) + Z2'*e^(-x) = 0
{ Z1'*e^(-x)(1 - x) - Z2'*e^(-x) = 3e^(-x)sqrt(x + 1)
Складываем уравнения:
Z1'*x*e^(-x) + Z1'*e^(-x)(1 - x) = 3e^(-x)sqrt(x + 1)
Z1'*e^(-x)*(x + 1 - x) = 3e^(-x)sqrt(x + 1)
Z1'*e^(-x) = 3e^(-x)sqrt(x + 1)
Z1' = 3sqrt(x + 1) = 3(x + 1)^(1/2)
[m]Z1 = 3\frac{(x+1)^{3/2}}{3/2} + C1 = 2(x+1)^{3/2} + C1[/m]
Подставляем в 1 уравнение системы:
Z2'*e^(-x) = -Z1'*x*e^(-x)
Z2'*e^(-x) = 3sqrt(x + 1) *x*e^(-x)
Z2' = 3x*sqrt(x + 1)
[m]Z2 = \int 3x \sqrt{x + 1} dx[/m]
Берем методом по частям:
[m]u = x; dv = \sqrt{x + 1} dx; du = dx; v = \frac{(x+1)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}[/m]
[m]Z2 = \int 3x \sqrt{x + 1} dx = \frac{2}{3} \cdot x(x+1)^{3/2} - \int \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} dx =[/m]
[m]= \frac{2}{3} \cdot x(x+1)^{3/2} - \frac{2}{3} \frac{(x+1)^{5/2}}{5/2} + C2 = \frac{2}{3} \cdot x(x+1)^{3/2} - \frac{4}{15} \cdot (x+1)^{5/2} + C2[/m]
Общее решение неоднородного уравнения:
[m]y = (2(x+1)^{3/2} + C1) \cdot xe^{-x} + (\frac{2}{3} \cdot x(x+1)^{3/2} - \frac{4}{15} \cdot (x+1)^{5/2} + C2) \cdot e^{-x}[/m]