Задача 77811 18) y'' + 2y' + y = 3 e^(-x)sqrt(x + 1);...

просто хороший человек

14 июня 2024 г. в 05:32

18) y'' + 2y' + y = 3 e^–x√x + 1;

Удачник66

14 июня 2024 г. в 04:19

★

y'' + 2y' + y = 3e^–x√x + 1
Неоднородное линейное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем однородное уравнение.
y'' + 2y' + y = 0
Характеристическое уравнение:
k² + 2k + 1 = 0
(k + 1)² = 0
k1 = k2 = –1
y(о) = (C1·x + C2)·e^–x
Ищем частное решение неоднородного уравнения.
Так как правая часть нестандартная, решаем методом вариации постоянных.
C1 = Z1(x); C2 = Z2(x)
y(н) = (Z1·x + Z2)·e^–x = Z1·x·e^–x + Z2·e^–x
Обозначим y1 = x·e^–x, y2 = e^–x
y(о) = Z1·y1 + Z2·y2
Нам нужно решить систему:
{ Z1'·y1 + Z2'·y2 = 0
{ Z1'·y1' + Z2'·y2' = f(x)/a0
Здесь f(x) – правая часть уравнения,
a0 – коэффициент при y'', у нас a0 = 1, поэтому система:
{ Z1'·y1 + Z2'·y2 = 0
{ Z1'·y1' + Z2'·y2' = 3e^–x√x + 1

Находим производные:
y1' = (x·e^–x)' = 1·e^–x + x·e^–x·(–1) = e^–x – x·e^–x = e^–x(1 – x)
y2' = (e^–x)' = –e^–x
Система:
{ Z1'·x·e^–x + Z2'·e^–x = 0
{ Z1'·e^–x(1 – x) – Z2'·e^–x = 3e^–x√x + 1
Складываем уравнения:
Z1'·x·e^–x + Z1'·e^–x(1 – x) = 3e^–x√x + 1
Z1'·e^–x·(x + 1 – x) = 3e^–x√x + 1
Z1'·e^–x = 3e^–x√x + 1
Z1' = 3√x + 1 = 3(x + 1)^1/2
[m]Z1 = 3\frac{(x+1)^{3/2}}{3/2} + C1 = 2(x+1)^{3/2} + C1[/m]
Подставляем в 1 уравнение системы:
Z2'·e^–x = –Z1'·x·e^–x
Z2'·e^–x = 3√x + 1 ·x·e^–x
Z2' = 3x·√x + 1
[m]Z2 = \int 3x \sqrt{x + 1} dx[/m]
Берем методом по частям:
[m]u = x; dv = \sqrt{x + 1} dx; du = dx; v = \frac{(x+1)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}[/m]
[m]Z2 = \int 3x \sqrt{x + 1} dx = \frac{2}{3} \cdot x(x+1)^{3/2} - \int \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} dx =[/m]
[m]= \frac{2}{3} \cdot x(x+1)^{3/2} - \frac{2}{3} \frac{(x+1)^{5/2}}{5/2} + C2 = \frac{2}{3} \cdot x(x+1)^{3/2} - \frac{4}{15} \cdot (x+1)^{5/2} + C2[/m]

Общее решение неоднородного уравнения:
[m]y = (2(x+1)^{3/2} + C1) \cdot xe^{-x} + (\frac{2}{3} \cdot x(x+1)^{3/2} - \frac{4}{15} \cdot (x+1)^{5/2} + C2) \cdot e^{-x}[/m]