Задача 77806 14) [m] y'' - 5y' + 6 y = 2 \sin 2x + 4...
Условие
Решение
Неоднородное линейное уравнение 2 порядка.
Решаем однородное уравнение:
y'' - 5y' + 6y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 5k + 6 = 0
(k - 2)(k - 3) = 0
k1 = 2; k2 = 3
y(о) = C1*e^(2x) + C2*e^(3x)
Решаем неоднородное уравнение. Частное решение:
y(н) = A1*cos 2x + A2*sin 2x + B
y'(н) = -2A1*sin 2x + 2A2*cos 2x
y''(н) = -4A1*cos 2x - 4A2*sin 2x
Подставляем в уравнение:
-4A1*cos 2x - 4A2*sin 2x - 5(-2A1*sin 2x + 2A2*cos 2x) + 6(A1*cos 2x + A2*sin 2x + B) = 2sin 2x + 4
(-4A1 - 10A2 + 6A1)*cos 2x + (-4A2 + 10A1 + 6A2)*sin 2x + 6B = 2sin 2x + 4
(2A1 - 10A2)*cos 2x + (10A1 + 2A2)*sin 2x + 6B = 2sin 2x + 4
Составляем систему:
{ 2A1 - 10A2 = 0
{ 10A1 + 2A2 = 2
{ 6B = 4
Решаем. Все уравнения делим на 2. 2 уравнение умножаем на 5:
{ A1 - 5A2 = 0
{ 25A1 + 5A2 = 5
{ 3B = 2
Складываем 1 и 2 уравнения:
{ 26A1 = 5
{ A1 - 5A2 = 0
{ B = 2/3
Получаем:
{ A1 = 5/26
{ A2 = A1/5 = 1/26
{ B = 2/3
y(н) = 5/26*cos 2x + 1/26*sin 2x + 2/3
Общее решение неоднородного уравнения:
y = y(о) + y(н) = C1*e^(2x) + C2*e^(3x) + 5/26*cos 2x + 1/26*sin 2x + 2/3