Задача 77806 14) [m] y'' - 5y' + 6 y = 2 \sin 2x + 4...

просто хороший человек

13 июня 2024 г. в 11:12

14) [m] y'' - 5y' + 6 y = 2 \sin 2x + 4 [/m];

Удачник66

13 июня 2024 г. в 06:23

★

y'' – 5y' + 6y = 2sin 2x + 4
Неоднородное линейное уравнение 2 порядка.
Решаем однородное уравнение:
y'' – 5y' + 6y = 0
Характеристическое уравнение:
k² – 5k + 6 = 0
(k – 2)(k – 3) = 0
k1 = 2; k2 = 3
y(о) = C1·e^2x + C2·e^3x
Решаем неоднородное уравнение. Частное решение:
y(н) = A1·cos 2x + A2·sin 2x + B
y'(н) = –2A1·sin 2x + 2A2·cos 2x
y''(н) = –4A1·cos 2x – 4A2·sin 2x
Подставляем в уравнение:
–4A1·cos 2x – 4A2·sin 2x – 5(–2A1·sin 2x + 2A2·cos 2x) + 6(A1·cos 2x + A2·sin 2x + B) = 2sin 2x + 4
(–4A1 – 10A2 + 6A1)·cos 2x + (–4A2 + 10A1 + 6A2)·sin 2x + 6B = 2sin 2x + 4
(2A1 – 10A2)·cos 2x + (10A1 + 2A2)·sin 2x + 6B = 2sin 2x + 4

Составляем систему:
{ 2A1 – 10A2 = 0
{ 10A1 + 2A2 = 2
{ 6B = 4
Решаем. Все уравнения делим на 2. 2 уравнение умножаем на 5:
{ A1 – 5A2 = 0
{ 25A1 + 5A2 = 5
{ 3B = 2
Складываем 1 и 2 уравнения:
{ 26A1 = 5
{ A1 – 5A2 = 0
{ B = 2/3
Получаем:
{ A1 = 5/26
{ A2 = A1/5 = 1/26
{ B = 2/3

y(н) = 5/26·cos 2x + 1/26·sin 2x + 2/3

Общее решение неоднородного уравнения:
y = y(о) + y(н) = C1·e^2x + C2·e^3x + 5/26·cos 2x + 1/26·sin 2x + 2/3