Задача 77805 ...

просто хороший человек

13 июня 2024 г. в 11:11

13) y'' eʸ = y', y(0) = 0, y'(0) = 1;

Удачник66

13 июня 2024 г. в 06:03

★

$y'' e^{y} = y'$
Здесь, как и в 12, поможет понижение порядка, но чуть сложнее.
Вводим функцию z, которая зависит от функции y.
Замена y' = z(y); тогда y'' = z'(y)·y' = z'·z
$z'ze^{y} = z$
Сокращаем на z:
$\frac{dz}{dy}e^{y} = 1$
Уравнение с разделяющимися переменными:
$dz = \frac{dy}{e^{y}}$
$dz = e^{-y}dy$
Берем интегралы:
$z = -e^{-y} + C1$
Возвращаемся к функции y:
$y' = -e^{-y} + C1$
$\frac{dy}{dx} = C1 - e^{-y}$
Опять уравнение с разделяющимися переменными:
$\frac{dy}{C1 - e^{-y}} = dx$
Берем интегралы.
Левый интеграл раскрывается так:
$\int \frac{dt}{a + be^{kt}} = \frac{x}{a} - \frac{1}{ak} \cdot \ln |a + be^{kt}|$
В нашем случае a = C1, b = –1; k = –1, поэтому:
$\frac{x}{C1} + \frac{1}{C1} \cdot \ln |C1 - e^{-y}| = x + C2$
$\frac{1}{C1} \cdot \ln |C1 - e^{-y}| = x - \frac{x}{C1} + C2$
Умножаем на C1:
$\ln |C1 - e^{-y}| = C1x - x + C1C2$
Лучше оставить в таком неявном виде, но можно и привести к обычному виду:
$C1 - e^{-y} = e^{C1x - x + C1C2}$
$e^{-y} = C1 - e^{C1x - x + C1C2}$
$-y = \ln |C1 - e^{C1x - x + C1C2}|$
$y = -\ln |C1 - e^{C1x - x + C1C2}|$