Задача 77805 ...
Условие
Решение
Здесь, как и в 12, поможет понижение порядка, но чуть сложнее.
Вводим функцию z, которая зависит от функции y.
Замена y' = z(y); тогда y'' = z'(y)*y' = z'*z
[m]z'ze^{y} = z[/m]
Сокращаем на z:
[m]\frac{dz}{dy}e^{y} = 1[/m]
Уравнение с разделяющимися переменными:
[m]dz = \frac{dy}{e^{y}}[/m]
[m]dz = e^{-y}dy[/m]
Берем интегралы:
[m]z = -e^{-y} + C1[/m]
Возвращаемся к функции y:
[m]y' = -e^{-y} + C1[/m]
[m]\frac{dy}{dx} = C1 - e^{-y}[/m]
Опять уравнение с разделяющимися переменными:
[m]\frac{dy}{C1 - e^{-y}} = dx[/m]
Берем интегралы.
Левый интеграл раскрывается так:
[m]\int \frac{dt}{a + be^{kt}} = \frac{x}{a} - \frac{1}{ak} \cdot \ln |a + be^{kt}|[/m]
В нашем случае a = C1, b = -1; k = -1, поэтому:
[m]\frac{x}{C1} + \frac{1}{C1} \cdot \ln |C1 - e^{-y}| = x + C2[/m]
[m]\frac{1}{C1} \cdot \ln |C1 - e^{-y}| = x - \frac{x}{C1} + C2[/m]
Умножаем на C1:
[m]\ln |C1 - e^{-y}| = C1x - x + C1C2[/m]
Лучше оставить в таком неявном виде, но можно и привести к обычному виду:
[m]C1 - e^{-y} = e^{C1x - x + C1C2}[/m]
[m]e^{-y} = C1 - e^{C1x - x + C1C2}[/m]
[m]-y = \ln |C1 - e^{C1x - x + C1C2}|[/m]
[m]y = -\ln |C1 - e^{C1x - x + C1C2}|[/m]