Задача 77804 12) y''tgx = y' + 1;...

просто хороший человек

13 июня 2024 г. в 11:10

12) y''tgx = y' + 1;

Удачник66

13 июня 2024 г. в 05:43

★

y''·tg x = y' + 1
Здесь поможет понижение порядка.
Замена y' = z; y'' = z'
z'·tg x = z + 1
$\frac{dz}{dx} \cdot tg\ x = z + 1$
Уравнение с разделяющимися переменными:
$\frac{dz}{z+1} = \frac{dx}{tg\ x}$
$\frac{dz}{z+1} = \frac{\cos xdx}{\sin x}$
Берем интегралы:
$\ln |z+1| = \ln |\sin x| + \ln |C1|$
$\ln |z+1| = \ln |C1\sin x|$
Избавляемся от логарифмов:
$z + 1 = C1\sin x$
$z = C1\sin x - 1$
Возвращаемся к функции y:
$y' = C1\sin x - 1$
$y = -C1\cos x - x + C2$