Задача 77803 11) 5xydx + ((5/2) * x^2 - y^2) dy = 0;...
Условие
Решение
[m](y^2 - \frac{5}{2}x^2)dy = 5xy dx[/m]
[m](y^2 - \frac{5}{2}x^2)y' = 5xy[/m]
Однородное уравнение 1 порядка. Решается заменой:
t = y/x; y = tx; y' = t'*x + t
[m](t^2x^2 - \frac{5}{2}x^2)(t'x + t) = 5tx^2[/m]
Делим всё на x^2 и умножаем на 2:
[m](2t^2 - 5)(t'x + t) = 10t[/m]
[m]t'x(2t^2 - 5) + t(2t^2 - 5) = 10t[/m]
[m]t'x(2t^2 - 5) = 10t - 2t^3 + 5t = - 2t^3 + 15t[/m]
[m]\frac{dt}{dx} \cdot x(2t^2 - 5) = - 2t^3 + 15t[/m]
Уравнение с разделяющимися переменными:
[m]\frac{(2t^2 - 5)dt}{- 2t^3 + 15t} = \frac{dx}{x}[/m]
Правый интеграл берется легко:
[m]\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + \ln |C| = \ln |Cx|[/m]
Левый интеграл берется методом неопределенных коэффициентов:
[m]\int \frac{(2t^2 - 5)}{- 2t^3 + 15t}dt = -\frac{1}{2}\int \frac{(2t^2 - 5)}{t^3 - 7,5t}dt = -\frac{1}{2}\int \frac{(2t^2 - 5)}{t(t^2 - 7,5)}dt [/m]
[m]\frac{(2t^2 - 5)}{t(t^2 - 7,5)} = \frac{A1}{t} + \frac{A2t + A3}{t^2 - 7,5} = \frac{A1(t^2-7,5) + t(A2t + A3)}{t(t^2 - 7,5)} = \frac{(A1 + A2)t^2 + A3t - 7,5A1}{t(t^2 - 7,5)} = \frac{(2t^2 - 5)}{t(t^2 - 7,5)}[/m]
Составляем систему:
{ A1 + A2 = 2
{ A3 = 0
{ -7,5A1 = -5
Решаем:
{ A1 = -5/(-7,5) = 10/15 = 2/3
{ A2 = 2 - A1 = 2 - 2/3 = 4/3
{ A3 = 0
Получаем:
[m]\int \frac{(2t^2 - 5)}{- 2t^3 + 15t}dt = -\frac{1}{2}\int (\frac{2}{3t} + \frac{4/3t + 0}{t^2 - 7,5})dt = -\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3} \ln |t| + \frac{4}{3} \ln |\frac{t + \sqrt{7,5}}{t - \sqrt{7,5}}| =[/m]
[m]= -\frac{1}{3} \ln |t| - \frac{2}{3} \ln |\frac{t + \sqrt{7,5}}{t - \sqrt{7,5}}|[/m]
Возвращаемся к функции y = tx; t = y/x:
[m]-\frac{1}{3} \ln |\frac{y}{x}| - \frac{2}{3} \ln |\frac{y/x + \sqrt{7,5}}{y/x - \sqrt{7,5}}| = \ln |Cx|[/m]
[m]-\frac{1}{3} \ln |\frac{y}{x}| - \frac{2}{3} \ln |\frac{y + \sqrt{7,5}x}{y - \sqrt{7,5}x}| = \ln |Cx|[/m]
Оставляем в неявном виде, потому что перевести это в обычный вид невозможно.