Задача 77802 10) [m]4y' + x^3y = \left(x^3 +...
Условие
Решение
Это уравнение Бернулли:
y' + P(x)*y = Q(x)*y^(m)
Решается заменой t = y^(1-m). В нашем случае m = 2. замена:
t = y^(1-2) = y^(-1) = 1/y; y = 1/t; y' = -1/t^2*t'
-4/t^2*t' + x^3/t = (x^3 + 8)*e^(-2x)*1/t^2
Умножаем всё уравнение на -t^2/4:
t' - t*x^3/4 = -(x^3/4 + 2)*e^(-2x)
Получили неоднородное линейное уравнение 1 порядка.
Решается заменой:
t = u*v; t' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' - u*v*x^3/4 = -(x^3/4 + 2)*e^(-2x)
Выносим u за скобки:
u'*v + u*(v' - v*x^3/4) = -(x^3/4 + 2)*e^(-2x)
Скобку приравниваем к 0:
v' - v*x^3/4 = 0
dv/dx = v*x^3/4
dv/v = x^3/4 dx
ln |v| = 1/4*x^4/4 = x^4/16
v = e^(x^4/16)
Подставляем в уравнение:
u'*e^(x^4/16) + 0 = -(x^3/4 + 2)e^(-2x)
u' = -(x^3/4 + 2)*e^(-2x)*e^(-x^4/16)
u' = -(x^3/4 + 2)*e^(-x^4/16 - 2x)
[m]u = \int (-x^3/4 - 2)e^{-x^4/16 - 2x} dx[/m]
Этот интеграл решается заменой:
z = -x^4/16 - 2x; dz = (-4x^3/16 - 2) dx = (-x^3/4 - 2) dx
[m]u = \int e^{z} dz = e^{z} + C = e^{-x^4/16 - 2x} + C[/m]
Возвращаемся к функции t = u*v:
[m]t = (e^{-x^4/16 - 2x} + C) \cdot e^{x^4/16} = e^{-2x} + Ce^{x^4/16}[/m]
Возвращаемся к переменной y = 1/t:
[m]y = \frac{1}{e^{-2x} - Ce^{x^4/16}}[/m]