Задача 77802 10) [m]4y' + x^3y = \left(x^3 +...

просто хороший человек

13 июня 2024 г. в 11:09

10) $4y' + x^3y = \left(x^3 + 8\right)e^{-2x}y^2$;

Удачник66

13 июня 2024 г. в 06:50

★

4y' + x³y = (x³ + 8)·e^–2xy²
Это уравнение Бернулли:
y' + P(x)·y = Q(x)·y^m
Решается заменой t = y^1–m. В нашем случае m = 2. замена:
t = y^1–2 = y^–1 = 1/y; y = 1/t; y' = –1/t²·t'
–4/t²·t' + x³/t = (x³ + 8)·e^–2x·1/t²
Умножаем всё уравнение на –t²/4:
t' – t·x³/4 = –(x³/4 + 2)·e^–2x
Получили неоднородное линейное уравнение 1 порядка.
Решается заменой:
t = u·v; t' = u'·v + u·v'
u'·v + u·v' – u·v·x³/4 = –(x³/4 + 2)·e^–2x
Выносим u за скобки:
u'·v + u·(v' – v·x³/4) = –(x³/4 + 2)·e^–2x
Скобку приравниваем к 0:
v' – v·x³/4 = 0
dv/dx = v·x³/4
dv/v = x³/4 dx
ln |v| = 1/4·x⁴/4 = x⁴/16
v = e^x4/16
Подставляем в уравнение:
u'·e^x4/16 + 0 = –(x³/4 + 2)e^–2x
u' = –(x³/4 + 2)·e^–2x·e^–x4/16
u' = –(x³/4 + 2)·e^{–x4/16 – 2x}
$u = \int (-x^3/4 - 2)e^{-x^4/16 - 2x} dx$
Этот интеграл решается заменой:
z = –x⁴/16 – 2x; dz = (–4x³/16 – 2) dx = (–x³/4 – 2) dx
$u = \int e^{z} dz = e^{z} + C = e^{-x^4/16 - 2x} + C$
Возвращаемся к функции t = u·v:
$t = (e^{-x^4/16 - 2x} + C) \cdot e^{x^4/16} = e^{-2x} + Ce^{x^4/16}$
Возвращаемся к переменной y = 1/t:
$y = \frac{1}{e^{-2x} - Ce^{x^4/16}}$