Задача 77762 Тема 3: Использование дифференциального...

9921332

9 июня 2024 г. в 04:31

Тема 3: Использование дифференциального исчисления функций одной переменной в практических задачах на экстремум.
Город A находится на расстоянии 54 (км) от железной дороги, проходящей вдоль берега моря. На берегу моря находится портовый город B. Под каким углом к железной дороге нужно провести шоссе из города A, чтобы доставка грузов из порта B в город A была наиболее дешевой? Стоимость перевозки по шоссе составляет 468 руб. за 1т/км, а по железной дороге – 52 руб. за 1т/км.

Удачник66

9 июня 2024 г. в 05:38

★

Примерный рисунок прилагается.
Черные линии AA0, AM1, AM2 и AB – это разные варианты прокладки шоссе.
Зеленая линия AM0 – это оптимальная прокладка.
Стоимость перевозки по шоссе составляет 468 руб за 1 т/км.
Стоимость перевозки по ЖД составляет 52 руб за 1 т/км.
Расстояние от г. А до ЖД: AA0 = 54 км.
Мы не знаем расстояния до г. B, поэтому обозначим A1B = n км.
Расстояние от A1 до точки пересечения ЖД и шоссе A1M(i) = x км.
Расстояние от точки M(i) до г. B будет равно M(i)B = n – x км.
Расстояния AM(i) и AB (длину шоссе) вычисляем по теореме Пифагора:
AM(i) = √AA0² + A1M(i)² = √54² + x²
AB = √AA0² + A1B² = √54² + n²
Полный путь от г. A до г. B
$AMB = AM(i) + M(i)B = \sqrt{54^2 + x^2} + (n - x)$
А стоимость перевозки 1 т груза по этому пути равна:
$S(AMB) = \sqrt{54^2 + x^2} \cdot 468 + (n - x) \cdot 52$ руб.
Если стоимость пути минимальна, то ее производная S'(AMB) = 0
$S'(AMB) = \frac{468}{2\sqrt{54^2 + x^2}} \cdot 2x + 52(-1) = 0$
$\frac{468x}{\sqrt{54^2 + x^2}} - 52 = 0$
Переносим число направо и сокращаем на 52, так как 468 = 52·9:
$\frac{9x}{\sqrt{54^2 + x^2}} = 1$
$\sqrt{54^2 + x^2} = 9x$
$54^2 + x^2 = 81x^2$
$54^2 = 80x^2$
$x^2 = \frac{54^2}{80} = \frac{4 \cdot 27^2}{80} = \frac{\cdot 27^2}{20}$
$x = \frac{27}{\sqrt{20}} = \frac{27}{2\sqrt{5}} = \frac{27\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{27\sqrt{5}}{10} ≈ 6,04$ км
Вот на таком расстоянии от A0 и надо делать точку пересечения шоссе и ЖД.
Длина шоссе тогда будет примерно:
$AM0 = \sqrt{54^2 + 6,04^2} = \sqrt{2916 + 36,48} = \sqrt{2952,48} ≈ 54,34$ км.
Угол наклона шоссе к линии ЖД:
$tg\ AM0A0 = \frac{AA0}{A0M0} = \frac{54}{x} = 54 : \frac{27\sqrt{5}}{10} = \frac{54 \cdot 10}{27\sqrt{5}} = \frac{2 \cdot 10}{\sqrt{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}$