Задача 77758 Решить уравнение log_x(9x^2)*(log_3...

5f4e19cc6a894c0287cf31f4

6/9/2024 12:13:00 PM

Решить уравнение log_x(9x^2)*(log_3 (x))^2=4

626fab9a354ab65fb2f43abb

6/9/2024 4:08:23 PM

★

[m]\log_{x} (9x^2) \cdot (\log_3 x)^2 = 4[/m]
Область определения:
{ x > 0
{ x ≠ 1
x ∈ (0; 1) U (1; +oo)
[m](\log_{x} 9 + \log_{x} (x^2)) \cdot (\log_3 x)^2 = 4[/m]
[m](\log_{x} 3^2 + 2) \cdot (\log_3 x)^2 = 4[/m]
[m](2\log_{x} 3 + 2) \cdot (\log_3 x)^2 = 4[/m]
Делим всё уравнение на 2:
[m](\log_{x} 3 + 1) \cdot (\log_3 x)^2 = 2[/m]
Воспользуемся свойством логарифмов:
[m]\log_a b = \frac{1}{\log_b a}[/m]
[m](\frac{1}{\log_3 x} + 1) \cdot (\log_3 x)^2 = 2[/m]
[m]\log_3 x + (\log_3 x)^2 - 2 = 0[/m]
Замена: t = log_3 x
t^2 + t - 2 = 0
(t - 1)(t + 2) = 0
[m]t_1 = \log_3 x = -2[/m]
[m]x_1 = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}[/m]
[m]t_2 = \log_3 x = 1[/m]
[m]x_2 = 3[/m]