Задача 77757 Решить уравнение (log_5 5/x^2)/(log_5...

Елена-Алексеевна_295929291

9 июня 2024 г. в 11:48

Решить уравнение (log₅ 5/x²)/(log₅ X)²=3

Удачник66

9 июня 2024 г. в 03:57

★

$\frac{\log_5 (5/x^2)}{(\log_5 x)^2} = 3$
Область определения:
{ x > 0
{ log₅ x ≠ 0
Получаем:
{ x > 0
{ x ≠ 1
x ∈ (0; 1) U (1; +oo)
$\frac{\log_5 5 - \log_5 x^2}{(\log_5 x)^2} = 3$
$\frac{1 - 2\log_5 x}{(\log_5 x)^2} = 3$
Замена t = log₅ x
$\frac{1 - 2t}{t^2} = 3$
$0 = 3 - \frac{1 - 2t}{t^2}$
$\frac{3t^2 + 2t - 1}{t^2} = 0$
3t² + 2t – 1 = 0
(t + 1)(3t – 1) = 0
$t_1 = \log_5 x = -1$
$x_1 = 5^{-1} = \frac{1}{5}$
$t_2 = log_5 x = \frac{1}{3}$
$x_2 = 5^{1/3} = \sqrt[3]{5}$