Задача 77756 Решить уравнение log_1/3(x-3)sqrt...

5f4e19cc6a894c0287cf31f4

6/9/2024 11:43:36 AM

Решить уравнение log_1/3(x-3)sqrt (log_1/3(x+2)=0

626fab9a354ab65fb2f43abb

6/9/2024 3:44:28 PM

★

[m]\log_{1/3} x - 3 \sqrt{\log_{1/3} x} + 2 = 0[/m]
Область определения:
{ x > 0
{ log_(1/3) x ≥ 0
Так как 1/3 ∈ (0; 1), то функция y = log_(1/3) x - убывающая.
Поэтому получается:
{ x > 0
{ x ≤ 1
x ∈ (0; 1]

Для решения введем замену:
t = sqrt(log_(1/3) x), тогда log_(1/3) x = t^2
t^2 - 3t + 2 = 0
(t - 1)(t - 2) = 0
[m]t_1 = \sqrt{\log_{1/3} x} = 1[/m]
[m]\log_{1/3} x = 1[/m]
[m]x_1 = \frac{1}{3}[/m] - подходит по области определения.
[m]t_2 = \sqrt{\log_{1/3} x} = 2[/m]
[m]\log_{1/3} x = 4[/m]
[m]x_2 = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}[/m] - подходит по области определения.