Задача 77756 Решить уравнение log_1/3(x-3)sqrt...

Елена-Алексеевна_295929291

9 июня 2024 г. в 11:43

Решить уравнение log₁/3(x–3)sqrt (log₁/3(x+2)=0

Удачник66

9 июня 2024 г. в 03:44

★

$\log_{1/3} x - 3 \sqrt{\log_{1/3} x} + 2 = 0$
Область определения:
{ x > 0
{ log_1/3 x ≥ 0
Так как 1/3 ∈ (0; 1), то функция y = log_1/3 x – убывающая.
Поэтому получается:
{ x > 0
{ x ≤ 1
x ∈ (0; 1]

Для решения введем замену:
t = √log_1/3 x, тогда log_1/3 x = t²
t² – 3t + 2 = 0
(t – 1)(t – 2) = 0
$t_1 = \sqrt{\log_{1/3} x} = 1$
$\log_{1/3} x = 1$
$x_1 = \frac{1}{3}$ – подходит по области определения.
$t_2 = \sqrt{\log_{1/3} x} = 2$
$\log_{1/3} x = 4$
$x_2 = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$ – подходит по области определения.