Задача 77755 Решить уравнение x^(log(sqrt(x))...

5f4e19cc6a894c0287cf31f4

6/9/2024 11:24:34 AM

Решить уравнение x^(log(sqrt(x)) (x-2))=9

626fab9a354ab65fb2f43abb

6/9/2024 3:15:36 PM

★

[m]x^{\log_{\sqrt{x}} (x-2)} = 9[/m]
Область определения:
{ x > 0
{ x ≠ 1
{ x - 2 > 0
x ∈ (2; +oo)
Воспользуемся свойством квадратного корня:
[m]a = (\sqrt{a})^2[/m]
Поменяем основание степени на sqrt(x):
[m](\sqrt{x}^{\log_{\sqrt{x}} (x-2)})^2 = 9[/m]
Воспользуемся свойством логарифмов:
[m]a^{\log_{a} b} = b[/m]
[m](x - 2)^2 = 9[/m]
[m](x - 2)^2 - 9 = 0[/m]
[m](x - 2 - 3)(x - 2 + 3) = 0[/m]
[m](x - 5)(x + 1) = 0[/m]
x = -1 - не подходит по области определения.
Ответ: x = 5