Задача 77755 Решить уравнение x^(log(sqrt(x))...

Елена-Алексеевна_295929291

9 июня 2024 г. в 11:24

Решить уравнение x^{log_√x (x–2)}=9

Удачник66

9 июня 2024 г. в 03:15

★

$x^{\log_{\sqrt{x}} (x-2)} = 9$
Область определения:
{ x > 0
{ x ≠ 1
{ x – 2 > 0
x ∈ (2; +oo)
Воспользуемся свойством квадратного корня:
$a = (\sqrt{a})^2$
Поменяем основание степени на √x:
$(\sqrt{x}^{\log_{\sqrt{x}} (x-2)})^2 = 9$
Воспользуемся свойством логарифмов:
$a^{\log_{a} b} = b$
$(x - 2)^2 = 9$
$(x - 2)^2 - 9 = 0$
$(x - 2 - 3)(x - 2 + 3) = 0$
$(x - 5)(x + 1) = 0$
x = –1 – не подходит по области определения.
Ответ: x = 5