Задача 77753 log_(x+1)(x^2 + x - 6)^2 = 4....

Елена-Алексеевна_295929291

9 июня 2024 г. в 10:08

log_x+1(x² + x – 6)² = 4.

Удачник66

9 июня 2024 г. в 10:19

★

$\log_{x+1} (x^2+x-6)^2 = 4$
Область определения для функции логарифма:
{ x + 1 > 0
{ x + 1 ≠ 1
{ (x² + x – 6)² > 0
В 3 неравенстве квадрат больше или равен 0 при любом x. Поэтому:
{ x > –1
{ x ≠ 0
{ x² + x – 6 ≠ 0
Решаем:
{ x > –1
{ x ≠ 0
{ (x + 3)(x – 2) ≠ 0
x ≠ –3 – можно не рассматривать, потому что x > –1.
Получаем:
{ x > –1
{ x ≠ 0
{ x ≠ 2
x ∈ (–1; 0) U (0; 2) U (2; +oo)

По свойству логарифмов:
$\log_{a} (b^{c}) = c \cdot \log_{a} (b)$
Поэтому:
$2\log_{x+1} (x^2+x-6) = 4$
$\log_{x+1} (x^2+x-6) = 2$
По определению логарифма:
(x + 1)² = x² + x – 6
x² + 2x + 1 = x² + x – 6
2x – x = – 6 – 1
x = –7 – не подходит по области определения.

Ответ: Решений нет.