Задача 77751 решить уравнение ...

Елена-Алексеевна_295929291

9 июня 2024 г. в 09:20

решить уравнение log₄(2log₃(1+3log₃X)))=1/2

Удачник66

9 июня 2024 г. в 10:47

★

[m]\log_4 (2\log_3 (1 + 3\log_3 x)) = \frac{1}{2}[/m]
Область определения:
{ x > 0
{ 1 + 3\log₃ x > 0
{ 2\log₃ (1 + 3\log₃ x) > 0
Решаем:
{ x > 0
{ \log₃ x > –1/3
{ 1 + 3\log₃ x > 1
Раскрываем логарифмы:
{ x > 0
{ x > 3^–1/3
{ 3\log₃ x > 0
Получаем:
{ x > 0
{ x > 3^–1/3
{ x > 1
x ∈ (1; +oo)

По определению и по свойствам логарифма:
[m]2\log_3 (1 + 3\log_3 x) = 4^{1/2}[/m]
[m]2\log_3 (1 + 3\log_3 x) = 2[/m]
[m]\log_3 (1 + 3\log_3 x) = 1[/m]
[m]1 + 3\log_3 x = 3[/m]
[m]3\log_3 x = 2[/m]
[m]\log_3 x = \frac{2}{3}[/m]
[m]x = 3^{2/3} > 1[/m] – подходит по области определения.

Ответ: [m]x = \sqrt[3]{9}[/m]