Задача 77742 Найти общее решение номер 24...
Условие
Решение
Неоднородное линейное уравнение 2 порядка.
Решаем однородное уравнение:
y'' + 6y' + 9y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + 6k + 9 = 0
(k + 3)^2 = 0
k1 = k2 = -3
y(о) = (C_1x + C_2)*e^(-3x)
Ищем частное решение неоднородного уравнения:
Так как k1 = k2 = -3 (то есть -3 - кратный корень) и справа тоже стоит e^(-3x), то:
y(н) = x^2*e^(-3x)*(Ax + B) = (Ax^3 + Bx^2)*e^(-3x)
y(н)' = (3Ax^2 + 2Bx)*e^(-3x) + (Ax^3 + Bx^2)*(-3)e^(-3x) = (-3Ax^3 - 3Bx^2 + 3Ax^2 + 2Bx)*e^(-3x)
y(н)' = (-3Ax^3 + (3A - 3B)x^2 + 2Bx)*e^(-3x)
y(н)'' = (-9Ax^2 - 6Bx + 6Ax + 2B)*e^(-3x) + (-3Ax^3 - 3Bx^2 + 3Ax^2 + 2Bx)*(-3)e^(-3x) =
= (9Ax^3 - 9Ax^2 + 9Bx^2 - 9Ax^2 - 6Bx + 6Ax - 6Bx + 2B)*e^(-3x) =
= (9Ax^3 - 18Ax^2 + 9Bx^2 + 6Ax - 12Bx + 2B)*e^(-3x)
y(н)'' = (9Ax^3 + (- 18A + 9B)x^2 + (6A - 12B)x + 2B)*e^(-3x)
Подставляем в исходное уравнение:
(9Ax^3 + (- 18A + 9B)x^2 + (6A - 12B)x + 2B)*e^(-3x) + 6(-3Ax^3 + (3A - 3B)x^2 + 2Bx)*e^(-3x) +
+ 9(Ax^3 + Bx^2)*e^(-3x) = x*e^(-3x)
Сокращаем всё уравнение на e^(-3x):
9Ax^3 + (-18A+9B)x^2 + (6A-12B)x + 2B - 18Ax^3 + (18A-18B)x^2 + 12Bx + 9Ax^3 + 9Bx^2 = x
Собираем степени x:
(9A - 18A + 9A)x^3 + (-18A + 9B + 18A - 18B + 9B)x^2 + (6A - 12B + 12B)x + 2B = x
Приводим подобные:
0x^3 + 0x^2 + 6Ax + 2B = x
6Ax + 2B = x
A = 1/6; B = 0
y(н) = (Ax^3 + Bx^2)*e^(-3x) = 1/6*x^3*e^(-3x)
Общее решение неоднородного уравнения:
y = y(о) + y(н) = (C_1x + C_2)*e^(-3x) + 1/6*x^3*e^(-3x)
y = (1/6*x^3 + C_1x + C_2)*e^(-3x)