Задача 77740 Используя метод понижение порядка ,...

Rittaaa

8 июня 2024 г. в 09:57

Используя метод понижение порядка , номер 24

Удачник66

8 июня 2024 г. в 03:19

★

$y'' + y'^2 = 3y'e^{2y}$
Здесь нет x, поэтому используем замену:
z(y) = y'_x; y'' = (z(y))'_x = z'(y)·y'_x = z'·z
$z'z + z^2 = 3ze^{2y}$
Сокращаем на z:
$z' + z = 3e^{2y}$
Это неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой:
z = u·v; z' = u'·v + u·v'
Помним, что u и v – это функции от y, также как и z = z(y).
$u'v + uv' + uv = 3e^{2y}$
Выносим u за скобки:
$u'v + u(v' + v) = 3e^{2y}$ (1)
Приравниваем скобку к 0:
$v' + v = 0$
$\frac{dv}{dy} = -v$
$\frac{dv}{v} = -dy$
Берем интегралы:
$\ln |v| = -y$
$v = e^{-y}$
Подставляем в уравнение (1):
$u'e^{-y} + 0 = 3e^{2y}$
$u' = 3e^{2y}e^{y} = 3e^{3y}$
Берем интеграл:
$u = \int 3e^{3y} dy = \frac{3}{3}e^{3y} + C_1 = e^{3y} + C_1$
Возвращаемся к функции z = u·v:
$z = (e^{3y} + C_1)e^{-y} = e^{2y} + C_1e^{-y}$
Возвращаемся к функции y
$y' = e^{2y} + C_1e^{-y}$
$\frac{dy}{dx} = e^{2y} + C_1e^{-y}$
$\frac{dy}{e^{2y} + C_1e^{-y}} = dx$ (2)
Берем интегралы:

Правый интеграл:
$\int dx = x + C_2$

Левый интеграл:
$\int \frac{dy}{e^{2y} + C_1e^{-y}} =$
Но это неберущийся интеграл, дальше я не знаю, что делать.