Задача 77740 Используя метод понижение порядка ,...
Условие
Решение
Здесь нет x, поэтому используем замену:
z(y) = y'_(x); y'' = (z(y))'_(x) = z'(y)*y'_(x) = z'*z
[m]z'z + z^2 = 3ze^{2y}[/m]
Сокращаем на z:
[m]z' + z = 3e^{2y}[/m]
Это неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой:
z = u*v; z' = u'*v + u*v'
Помним, что u и v - это функции от y, также как и z = z(y).
[m]u'v + uv' + uv = 3e^{2y}[/m]
Выносим u за скобки:
[m]u'v + u(v' + v) = 3e^{2y}[/m] [b](1)[/b]
Приравниваем скобку к 0:
[m]v' + v = 0[/m]
[m]\frac{dv}{dy} = -v[/m]
[m]\frac{dv}{v} = -dy[/m]
Берем интегралы:
[m]\ln |v| = -y[/m]
[m]v = e^{-y}[/m]
Подставляем в уравнение [b](1)[/b]:
[m]u'e^{-y} + 0 = 3e^{2y}[/m]
[m]u' = 3e^{2y}e^{y} = 3e^{3y}[/m]
Берем интеграл:
[m]u = \int 3e^{3y} dy = \frac{3}{3}e^{3y} + C_1 = e^{3y} + C_1[/m]
Возвращаемся к функции z = u*v:
[m]z = (e^{3y} + C_1)e^{-y} = e^{2y} + C_1e^{-y}[/m]
Возвращаемся к функции y
[m]y' = e^{2y} + C_1e^{-y}[/m]
[m]\frac{dy}{dx} = e^{2y} + C_1e^{-y}[/m]
[m]\frac{dy}{e^{2y} + C_1e^{-y}} = dx[/m] [b](2)[/b]
Берем интегралы:
Правый интеграл:
[m]\int dx = x + C_2[/m]
Левый интеграл:
[m]\int \frac{dy}{e^{2y} + C_1e^{-y}} = [/m]
Но это неберущийся интеграл, дальше я не знаю, что делать.