Задача 77737 дифф. ур-е №8....

просто хороший человек

8 июня 2024 г. в 08:59

дифф. ур–е №8.

Удачник66

8 июня 2024 г. в 10:29

★

$y' = \frac{y}{x+1} + \frac{y^2}{x-1}$
$y' - \frac{y}{x+1} = \frac{y^2}{x-1}$
Это уравнение Бернулли.
$y' + p(x)y = q(x)y^{m}$
В нашем случае m = 2. Решается заменой:
$t = y^{1-m} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}; y = \frac{1}{t}; y' = -\frac{t'}{t^2}$
$-\frac{t'}{t^2} - \frac{1}{t(x+1)} = \frac{1}{t^2(x-1)}$
Умножаем всё уравнение на –t²:
$t' + \frac{t}{x+1} = -\frac{1}{x-1}$
Это уже обычное неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой:
t = u·v; t' = u'·v + u·v'
$u'v + uv' + \frac{uv}{x+1} = -\frac{1}{x-1}$
Выносим u за скобки:
$u'v + u(v' + \frac{v}{x+1}) = -\frac{1}{x-1}$
Скобку приравниваем к 0:
$v' + \frac{v}{x+1} = 0$
$\frac{dv}{dx} = -\frac{v}{x+1}$
$\frac{dv}{v} = -\frac{dx}{x+1}$
$\ln\ |v| = -\ln\ |x+1| = \ln\ |\frac{1}{x+1}|$
$v = \frac{1}{x+1}$
Подставляем в уравнение:
$u' \cdot \frac{1}{x+1} + 0 = -\frac{1}{x-1}$
$u' = -\frac{x+1}{x-1} = -\frac{x-1+2}{x-1} = -1 - \frac{2}{x-1}$
$u = -x - 2\ln\ |x-1| - C = -(x + \ln\ (x-1)^2 + C)$
Возвращаемся к функции t = u·v:
$t = -(x + \ln\ (x-1)^2 + C) \cdot \frac{1}{x+1} = -\frac{\ln\ (x-1)^2 + x + C}{x+1}$
Возвращаемся к функции y:
$y = \frac{1}{t} = -\frac{x+1}{\ln\ (x-1)^2 + x + C}$