Задача 77737 дифф. ур-е №8....
Условие
Решение
[m]y' - \frac{y}{x+1} = \frac{y^2}{x-1}[/m]
Это уравнение Бернулли.
[m]y' + p(x)y = q(x)y^{m}[/m]
В нашем случае m = 2. Решается заменой:
[m]t = y^{1-m} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}; y = \frac{1}{t}; y' = -\frac{t'}{t^2}[/m]
[m]-\frac{t'}{t^2} - \frac{1}{t(x+1)} = \frac{1}{t^2(x-1)}[/m]
Умножаем всё уравнение на -t^2:
[m]t' + \frac{t}{x+1} = -\frac{1}{x-1}[/m]
Это уже обычное неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой:
t = u*v; t' = u'*v + u*v'
[m]u'v + uv' + \frac{uv}{x+1} = -\frac{1}{x-1}[/m]
Выносим u за скобки:
[m]u'v + u(v' + \frac{v}{x+1}) = -\frac{1}{x-1}[/m]
Скобку приравниваем к 0:
[m]v' + \frac{v}{x+1} = 0[/m]
[m]\frac{dv}{dx} = -\frac{v}{x+1}[/m]
[m]\frac{dv}{v} = -\frac{dx}{x+1}[/m]
[m]\ln\ |v| = -\ln\ |x+1| = \ln\ |\frac{1}{x+1}|[/m]
[m]v = \frac{1}{x+1}[/m]
Подставляем в уравнение:
[m]u' \cdot \frac{1}{x+1} + 0 = -\frac{1}{x-1}[/m]
[m]u' = -\frac{x+1}{x-1} = -\frac{x-1+2}{x-1} = -1 - \frac{2}{x-1}[/m]
[m]u = -x - 2\ln\ |x-1| - C = -(x + \ln\ (x-1)^2 + C)[/m]
Возвращаемся к функции t = u*v:
[m]t = -(x + \ln\ (x-1)^2 + C) \cdot \frac{1}{x+1} = -\frac{\ln\ (x-1)^2 + x + C}{x+1}[/m]
Возвращаемся к функции y:
[m]y = \frac{1}{t} = -\frac{x+1}{\ln\ (x-1)^2 + x + C}[/m]