Задача 77735 Надо решить задачу , номер 24 Найти...
Условие
Найти общее решение 
Решение
Делим всё на y^2:
[m]y' = 1 + \frac{x}{y} - \frac{x^2}{y^2}[/m]
Однородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой:
t = y/x; y = tx; y' = t'x + t
[m]t'x + t = 1 + \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}[/m]
[m]\frac{dt}{dx} \cdot x = 1 - t + \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}[/m]
Уравнение с разделяющимися переменными:
[m]\frac{dt}{1 - t + 1/t - 1/t^2} = \frac{dx}{x}[/m] [b](1)[/b]
Левый интеграл уравнения [b](1)[/b]:
[m]\int \frac{dt}{1 - t + 1/t - 1/t^2} = \int \frac{t^2dt}{t^2 - t^3 + t - 1} = -\int \frac{t^2dt}{t^3 - t^2 - t + 1}[/m]
Решается методом неопределенных коэффициентов:
[m]\frac{t^2}{t^3 - t^2 - t + 1} = \frac{t^2}{(t - 1)(t^2 - 1)} = \frac{t^2}{(t - 1)^2(t + 1)} = \frac{A_1}{t-1} + \frac{A_2}{(t-1)^2} + \frac{A_3}{t + 1} [/m]
Приводим сумму дробей к общему знаменателю:
[m] \frac{A_1}{t-1} + \frac{A_2}{(t-1)^2} + \frac{A_3}{t + 1} = \frac{A_1(t-1)(t+1)}{(t - 1)^2(t + 1)} + \frac{A_2(t+1)}{(t - 1)^2(t + 1)} + \frac{A_3(t-1)^2}{(t - 1)^2(t + 1)} =[/m]
[m]= \frac{A_1(t^2-1) +A_2(t+1) + A_3(t^2 - 2t +1)}{(t - 1)^2(t + 1)} = [/m]
[m]= \frac{A_1t^2 - A_1 + A_2t + A_2 + A_3t^2 - 2A_3t + A_3}{(t - 1)^2(t + 1)} =[/m]
[m]= \frac{(A_1 + A_3)t^2 + (A_2 - 2A_3)t + ( - A_1 +A_2+A_3)}{(t - 1)^2(t + 1)} =\frac{t^2}{(t - 1)^2(t + 1)}[/m]
Составляем систему по степеням:
{ A_1 + A_3 = 1
{ A_2 - 2A_3 = 0
{ -A_1 +A_2+ A_3 = 0
Решаем:
{ A_1 = 1 - A_3
{ A_2 = 2A_3
{ -A_1 +A_2+ A_3 = 0
Подставляем 1 и 2 уравнения в 3 уравнение:
-1 + A_3 + 2A_3 + A_3 = 1
4A_3 = 2
A_3 = 2/4 = 1/2
A_1 = 1 - A_3 = 1 - 1/2 = 1/2
A_2 = 2/2 = 1
Получаем сумму интегралов:
[m]-\int \frac{t^2dt}{t^3 - t^2 - t + 1}= -\int \frac{t^2}{(t - 1)^2(t + 1)} = -\int \frac{1}{2(t-1)} -\int \frac{1}{(t-1)^2} -\int \frac{1}{2(t + 1)} =[/m]
[m]= -\frac{1}{2} \ln\ |t-1| + \frac{1}{t-1} - \frac{1}{2} \ln\ |t+1| = \frac{1}{t-1} - \frac{1}{2} \ln\ |(t-1)(t+1)| = \frac{1}{t-1} - \ln \sqrt{t^2-1}[/m]
Правый интеграл уравнения [b](1)[/b]:
[m]\int \frac{dx}{x} = \ln\ |x| + \ln C = \ln\ |Cx|[/m]
Решение уравнения [b](1)[/b]:
[m]\frac{1}{t-1} - \ln \sqrt{t^2-1} = \ln\ |Cx|[/m]
Возвращаемся к функции y = t*x:
[m]\frac{1}{y/x-1} - \ln \sqrt{\frac{y^2}{x^2}-1} = \ln\ |Cx|[/m]
Избавимся от трехэтажной дроби:
[m]\frac{x}{y-x} - \ln \sqrt{\frac{y^2-x^2}{x^2}} = \ln\ |Cx|[/m]
[m]\frac{x}{y-x} - \ln \frac{\sqrt{y^2-x^2}}{x} = \ln\ |Cx|[/m]
Оставляем в неявном виде, потому что в явный вид переделать это невозможно.