Задача 77733 9) [m]y' + \frac{2y}{x} = \frac{3}{x^3},...

просто хороший человек

7 июня 2024 г. в 12:48

9) $y' + \frac{2y}{x} = \frac{3}{x^3}, y(1) = 1$;

Удачник66

7 июня 2024 г. в 07:31

★

$y' + \frac{2y}{x} = \frac{3}{x^3}; y(1) = 1$
Неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой:
y = u·v; y' = u'·v + u·v'
$u'v + uv' + \frac{2uv}{x} = \frac{3}{x^3}$
Выносим u за скобки:
$u'v + u(v' + \frac{2v}{x}) = \frac{3}{x^3}$
Скобку приравниваем к 0:
$v' + \frac{2v}{x} = 0$
$\frac{dv}{dx} = -2\frac{v}{x}$
$\frac{dv}{v} = -2\frac{dx}{x}$
Берем интегралы:
$\ln\ |v| = -2 \ln\ |x| = \ln\ |x^{-2}|$
Избавляемся от логарифмов:
$v = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$
Подставляем в уравнение:
$u' \cdot \frac{1}{x^2} + u \cdot 0 = \frac{3}{x^3}$
$u' = \frac{3}{x}$
Берем интеграл:
$u = 3 \ln |x| + \ln C = \ln |x^3| + \ln C = \ln |Cx^3|$
Возвращаемся к функции y = u·v:
$y = \frac{1}{x^2} \cdot \ln |Cx^3|$
$y = \frac{\ln |Cx^3|}{x^2}$

Решаем задачу по начальному условию:
y(1) = 1
$y = \frac{\ln |C \cdot 1^3|}{1^2}$
$1 = \frac{\ln |C \cdot 1|}{1}$
$\ln C = 1$
$C = e$

Ответ: $y = \frac{\ln |ex^3|}{x^2}$