Задача 77733 9) [m]y' + \frac{2y}{x} = \frac{3}{x^3},...
Условие
Решение
Неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой:
y = u*v; y' = u'*v + u*v'
[m]u'v + uv' + \frac{2uv}{x} = \frac{3}{x^3}[/m]
Выносим u за скобки:
[m]u'v + u(v' + \frac{2v}{x}) = \frac{3}{x^3}[/m]
Скобку приравниваем к 0:
[m]v' + \frac{2v}{x} = 0[/m]
[m]\frac{dv}{dx} = -2\frac{v}{x}[/m]
[m]\frac{dv}{v} = -2\frac{dx}{x}[/m]
Берем интегралы:
[m]\ln\ |v| = -2 \ln\ |x| = \ln\ |x^{-2}|[/m]
Избавляемся от логарифмов:
[m]v = x^{-2} = \frac{1}{x^2}[/m]
Подставляем в уравнение:
[m]u' \cdot \frac{1}{x^2} + u \cdot 0 = \frac{3}{x^3}[/m]
[m]u' = \frac{3}{x}[/m]
Берем интеграл:
[m]u = 3 \ln |x| + \ln C = \ln |x^3| + \ln C = \ln |Cx^3|[/m]
Возвращаемся к функции y = u*v:
[m]y = \frac{1}{x^2} \cdot \ln |Cx^3|[/m]
[m]y = \frac{\ln |Cx^3|}{x^2} [/m]
Решаем задачу по начальному условию:
y(1) = 1
[m]y = \frac{\ln |C \cdot 1^3|}{1^2} [/m]
[m]1 = \frac{\ln |C \cdot 1|}{1} [/m]
[m]\ln C = 1[/m]
[m]C = e[/m]
Ответ: [m]y = \frac{\ln |ex^3|}{x^2} [/m]