Задача 77725 7) [m]y' + \frac{y}{x} =...

просто хороший человек

7 июня 2024 г. в 05:19

7) [m]y' + \frac{y}{x} = \frac{12}{x^4}[/m];

Удачник66

7 июня 2024 г. в 05:56

★

[m]y' + \frac{y}{x} = \frac{12}{x^4}[/m]
Неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой y = u·v; y' = u'·v + u·v'
[m]u'v + uv' + \frac{uv}{x} = \frac{12}{x^4}[/m]
Выносим u за скобки:
[m]u'v + u(v' + \frac{v}{x}) = \frac{12}{x^4}[/m]
Приравниваем скобку к 0:
[m]v' + \frac{v}{x} = 0[/m]
[m]\frac{dv}{dx} = -\frac{v}{x}[/m]
[m]\frac{dv}{v} = -\frac{dx}{x}[/m]
Берем интегралы:
[m]\ln v = -\ln x = \ln \frac{1}{x}[/m]
Избавляемся от логарифмов:
[m]v = \frac{1}{x}[/m]
Подставляем в уравнение:
[m]u' \cdot \frac{1}{x} + u \cdot 0 = \frac{12}{x^4}[/m]
[m]u' = \frac{12}{x^3} = 12x^{-3}[/m]
Берем интеграл:
[m]u = 12 \frac{x^{-2}}{-2} + C = -6x^{-2} + C = C -\frac{6}{x^2}[/m]
Возвращаемся к функции y = u·v:
[m]y = uv = (C -\frac{6}{x^2}) \cdot \frac{1}{x}[/m]
[m]y = \frac{C}{x} - \frac{6}{x^3}[/m]