Задача 77722 Проблема с математикой, не могу понять...

Киря

6 июня 2024 г. в 04:57

Проблема с математикой, не могу понять как интеграл составить и как это решить

5f3ea7e3faf909182968ddd9

6 июня 2024 г. в 08:00

★

S= ∫∫ _Ddxdy=4 ∫∫ _D1 dxdy

(см рис. область D₁ закрашена)


Переходим к полярным координатам
x= ρ cos θ

y= ρ sin θ

x²+y²= ρ^ 2cos² θ + ρ²sin² θ= ρ²·(cos²θ +sin²θ )= ρ^ 2·1= ρ²

x⁴+y⁴= ρ^ 4cos⁴ θ + ρ²4sin⁴ θ= ρ⁴·(cos⁴θ +sin⁴θ )
Уравнение принимает вид:

ρ²=1/(cos⁴θ+sin⁴θ ) ⇒

D₁:

0 ≤ ρ ≤ √1/(cos⁴θ+sin⁴θ )
0 ≤ θ ≤ π/2


S= 4·∫ ^{√1/(cos4θ+sin4θ )} ₀ ∫^π/2 ₀ ρ d ρ d θ