Задача 77721 ...
Условие
Решение
[m]y' = 4 \frac{\sqrt{2x^2 + y^2}}{x} + \frac{y}{x}[/m]
[m]y' = 4 \sqrt{\frac{2x^2 + y^2}{x^2}} + \frac{y}{x}[/m]
[m]y' = 4 \sqrt{2+\frac{y^2}{x^2}} + \frac{y}{x}[/m]
Однородное уравнение 1 порядка, решается заменой:
t = y/x; y = t*x; y' = t'*x + t
[m]t' \cdot x + t = 4 \sqrt{2+t^2} + t[/m]
[m]\frac{dt}{dx} \cdot x = 4 \sqrt{2+t^2}[/m]
Уравнение с разделяющимися переменными:
[m]\frac{dt}{\sqrt{t^2+2}} = 4\frac{dx}{x}[/m]
Берем интегралы:
[m]\ln\ |t + \sqrt{t^2+2}| = 4\ln\ |x| + \ln C[/m]
[m]\ln\ |t + \sqrt{t^2+2}| = \ln\ |Cx^4|[/m]
Избавляемся от логарифмов:
[m]t + \sqrt{t^2+2} = Cx^4[/m]
[m]\frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^2}{x^2}+2} = Cx^4[/m]
Можно оставить в таком неявном виде, а можно получить явный вид:
[m]\frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^2+2x^2}{x^2}} = Cx^4[/m]
[m]\frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^2+2x^2}}{x} = Cx^4[/m]
Умножаем на x:
[m]y + \sqrt{y^2+2x^2} = Cx^5[/m]
[m]\sqrt{y^2+2x^2} = Cx^5 - y[/m]
[m]y^2+2x^2 = (Cx^5 - y)^2[/m]
[m]y^2+2x^2 = C^2x^{10} - 2Cx^5y + y^2[/m]
[m]2x^2 = C^2x^{10} - 2Cx^5y[/m]
Делим всё на x^2:
[m]2 = C^2x^{8} - 2Cx^3y[/m]
[m]2Cx^3y = C^2x^{8} - 2[/m]
[m]y = \frac{C^2x^{8} - 2}{2Cx^3}[/m]
[m]y = \frac{Cx^5}{2} - \frac{1}{Cx^3}[/m]