Задача 77720 3) [m]e^y(y' + 1) = 2, \, y(0) = 0;[/m]...
Условие
Решение
[m]y' + 1 = 2e^{-y}[/m]
[m]\frac{dy}{dx} = 2e^{-y} - 1[/m]
Уравнение с разделяющимися переменными:
[m]\frac{dy}{2e^{-y} - 1} = dx[/m]
[m]\frac{dy}{\frac{2}{e^{y}} - 1} = dx[/m]
[m]\frac{dy}{\frac{2 - e^{y}}{e^{y}}} = dx[/m]
[m]\frac{e^{y}dy}{2 - e^{y}} = dx[/m]
Берем интегралы:
[m]\int \frac{e^{y}dy}{2 - e^{y}}[/m]
Решается заменой e^(y) = t; dt = e^(y) dy
[m]\int \frac{dt}{2 - t} = -\ln\ |2 - t| = -\ln\ |2 - e^{y}| = \ln |\frac{1}{2 - e^{y}}|[/m]
[m]\int dx = x - \ln C[/m]
Здесь удобно взять константу в таком виде.
Подставляем:
[m]\ln |\frac{1}{2 - e^{y}}| = x - \ln C[/m]
[m]\frac{1}{2 - e^{y}} = e^{x - \ln C} = e^{x} \cdot e^{- \ln C} = \frac{1}{C} \cdot e^{x}[/m]
[m]2 - e^{y} = \frac{1}{\frac{1}{C} \cdot e^{x}} = Ce^{-x}[/m]
[m]e^{y} = 2 - Ce^{-x}[/m]
[m]y = \ln\ |2 - Ce^{-x}|[/m]
Подставляем начальное условие y(0) = 0:
[m]y = \ln\ |2 - Ce^{-0}|[/m]
[m]\ln\ |2 - C| = 0[/m]
[m]2 - C = 1[/m]
[m]C = 1[/m]
Ответ: [m]y = \ln\ |2 - e^{-x}|[/m]