Задача 77718 1) 2xsqrt(1-y^2)dx + ydy = 0...

просто хороший человек

6 июня 2024 г. в 10:55

1) 2x√1–y²dx + ydy = 0

Удачник66

6 июня 2024 г. в 11:22

★

[m]2x \sqrt{1-y^2} dx = ydy[/m]
Уравнение с разделяющимися переменными.
[m]\frac{ydy}{2\sqrt{1-y^2}} = xdx[/m]
Берем интегралы:
[m]\int \frac{ydy}{2\sqrt{1-y^2}}[/m]
Решается заменой: t = 1 – y²; dt = –2y dy; y dy = –1/2 dt
[m]\frac{1}{2\sqrt{t}}(-\frac{1}{2}) dt = -\frac{1}{2}\sqrt{t} = -\frac{1}{2}\sqrt{1 - y^2}[/m]
[m]\int xdx = \frac{x^2}{2} + \frac{C}{2}[/m]
Удобно здесь поставить С/2, а не просто С, чтобы потом умножить на 2.
Подставляем:
[m]-\frac{1}{2}\sqrt{1 - y^2} = \frac{x^2}{2} + \frac{C}{2}[/m]
[m]-\sqrt{1 - y^2} = x^2 + C[/m]
[m]1 - y^2 = (x^2 + C)^2[/m]
[m]y^2 = 1 - (x^2 + C)^2[/m]
[m]y = \sqrt{1 - (x^2 + C)^2}[/m]