Задача 77717 Помогите решить задачу из векторной...
Условие
Решение
a) Медиана AM - значит, M - середина BC.
M = ((-1 - 1)/2; (3 + 4)/2; (4 + 2)/2) = (-2/2; 7/2; 6/2) = (-1; 3,5; 3)
Вектор AM = (-1 - 3; 3,5 - 1; 3 + 3) = (-4; 2,5; 6) = -4i + 2,5j + 6k
b) Высота BD - значит, D ∈ (AC)
Уравнение (AC): (x + 1)/(3 + 1) = (y - 4)/(1 - 4) = (z - 2)/(-3 - 2)
(x + 1)/4 = (y - 4)/(-3) = (z - 2)/(-5)
m(AC) = 4; n(AC) = -3; p(AC) = -5
Прямая (BD) ⊥ (AC), значит, должно выполняться равенство:
m(BD)*m(AC) + n(BD)*n(AC) + p(BD)*p(AC) = 0
m(BD)*4 + n(BD)*(-3) + p(BD)*(-5) = 0
4m(BD) = 3n(BD) + 5p(BD)
Подходит, например, тройка:
m(BD) = 2; n(BD) = 1; p(BD) = 1
4*2 = 3 + 5 = 8
Уравнение (BD): (x + 1)/2 = (y - 3)/1 = (z - 4)/1
Теперь нужно найти координаты точки D - пересечение (AC) и (BD).
Составляем систему:
{ (x + 1)/4 = (x + 1)/2
{ (y - 4)/(-3) = (y - 3)/1
{ (z - 2)/(-5) = (z - 4)/1
Решаем:
{ 2(x + 1) = 4(x + 1)
{ y - 4 = -3(y - 3)
{ z - 2 = -5(z - 4)
Раскрываем скобки, отделяем переменные:
{ 2(x + 1) = 0
{ y + 3y = 9 + 4
{ z + 5z = 20 + 2
Приводим подобные:
{ x + 1 = 0
{ 4y = 13
{ 6z = 22
Получаем:
{ x = -1
{ y = 13/4
{ z = 11/3
D(-1; 13/4; 11/3)
Вектор BD = (-1 + 1; 13/4 - 3; 11/3 - 4) = (0; 1/4; -1/3) = 0i + 1/4*j - 1/3*k
A(3; 1; -3); B(-1; 3; 4); C(-1; 4; 2)
c) Биссектриса угла C - это биссектриса угла между AC и BC.
Уравнение (CA): (x - 3)/(-1 - 3) = (y - 1)/(4 - 1) = (z + 3)/(2 + 3)
(x - 3)/(-4) = (y - 1)/3 = (z + 3)/5
m(CA) = -4; n(CA) = 3; p(CA) = 5
|CA| = sqrt((-4)^2 + 3^2 + 5^2) = sqrt(16 + 9 + 25) = sqrt(50) = 5sqrt(2)
Уравнение (CB): (x + 1)/(-1+1) = (y - 3)/(4 - 3) = (z - 4)/(2 - 4)
(x + 1)/0 = (y - 4)/1 = (z - 2)/(-2)
0 в знаменателе здесь - законный, он означает, что прямая (BC) ⊥ оси Ox.
m(CB) = 0; n(CB) = 1; p(CB) = -2
|CB| = sqrt(0^2 + 1^2 + (-2)^2) = sqrt(0 + 1 + 4) = sqrt(5)
Направляющий вектор CK биссектрисы задается суммой:
[m]CK = (\frac{m(CA)}{|CA|} + \frac{m(CB)}{|CB|}; \frac{n(CA)}{|CA|} + \frac{n(CB)}{|CB|}; \frac{p(CA)}{|CA|} + \frac{p(CB)}{|CB|})[/m]
[m]CK = (\frac{-4}{5\sqrt{2}} + \frac{0}{\sqrt{5}}; \frac{3}{5\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{5}}; \frac{5}{5\sqrt{2}} + \frac{-2}{\sqrt{5}}) = (\frac{-4\sqrt{2}}{10} + 0; \frac{3\sqrt{2}}{10} + \frac{\sqrt{5}}{5}; \frac{5\sqrt{2}}{10} + \frac{-2\sqrt{5}}{5}) =[/m]
[m]= (-\frac{4\sqrt{2}}{10}; \frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{10}; \frac{5\sqrt{2}-4\sqrt{5}}{10}) = -\frac{4\sqrt{2}}{10} \cdot i+ \frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{10} \cdot j + \frac{5\sqrt{2}-4\sqrt{5}}{10} \cdot k[/m]