Задача 77715 решить дифференциальное уравнение...
Условие
Решение
Все решения
2. Начальные условия:
[m]
y(0) = 1
[/m]
[m]
y'(0) = 2
[/m]
### Решение:
1. Переобозначим [m] y' = p [/m] (где [m] p = \frac{dy}{dx} [/m]).
Тогда [m] \frac{dp}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} = y'' [/m].
2. Перепишем наше дифференциальное уравнение с новыми обозначениями:
[m]
y \frac{dp}{dx} + p^2 = 0
[/m]
3. Сделаем замену переменной [m] x [/m] на [m] y [/m]:
[m]
p = \frac{dy}{dx} \rightarrow dx = \frac{dy}{p}
[/m]
и
[m]
\frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}
[/m]
4. Подставим в уравнение:
[m]
y p \frac{dp}{dy} + p^2 = 0
[/m]
[m]
y p \frac{dp}{dy} = -p^2
[/m]
[m]
y \frac{dp}{dy} = -p
[/m]
[m]
\frac{dp}{dy} = -\frac{p}{y}
[/m]
5. Решим это дифференциальное уравнение методом разделения переменных:
[m]
\frac{dp}{p} = -\frac{dy}{y}
[/m]
Интегрируем обе части:
[m]
\int \frac{1}{p} dp = -\int \frac{1}{y} dy
[/m]
[m]
\ln|p| = -\ln|y| + C
[/m]
Упрощаем:
[m]
\ln|p| + \ln|y| = C
[/m]
[m]
\ln|py| = C
[/m]
[m]
|py| = e^C \text{ или } py = \pm e^C
[/m]
Обозначим новую константу [m] C_1 = e^C [/m]:
[m]
p = \frac{C_1}{y} \text{ или } p = -\frac{C_1}{y}
[/m]
6. Распишем решение для каждого случая:
[m]
\frac{dy}{dx} = \frac{C_1}{y}
[/m]
[m]
\frac{dy}{dx} = -\frac{C_1}{y}
[/m]
7. Решим каждое из уравнений:
а)
[m]
y \frac{dy}{dx} = C_1
[/m]
[m]
y dy = C_1 dx
[/m]
Интегрируем:
[m]
\int y \ dy = \int C_1 \ dx
[/m]
[m]
\frac{y^2}{2} = C_1 x + C_2
[/m]
б)
[m]
y \frac{dy}{dx} = -C_1
[/m]
[m]
y dy = -C_1 dx
[/m]
Интегрируем:
[m]
\int y \ dy = -\int C_1 \ dx
[/m]
[m]
\frac{y^2}{2} = -C_1 x + C_2
[/m]
### Найдем постоянные [m] C_1 [/m] и [m] C_2 [/m] из начальных условий:
[m]
y(0) = 1\ \text{и}\ y'(0) = 2
[/m]
#### Рассмотрим каждое уравнение:
1) [m]\frac{y^2}{2} = C_1 x + C_2[/m]
Подставляем начальные условия [m] y(0) = 1 [/m]:
[m]
\frac{1^2}{2} = 0 + C_2
[/m]
[m]
C_2 = \frac{1}{2}
[/m]
Подставляем [m] y'(0) = 2 [/m]:
[m]
y'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{C_1}{y}
[/m]
[m]
2 = \frac{C_1}{1}
[/m]
[m]
C_1 = 2
[/m]
Таким образом:
[m]
\frac{y^2}{2} = 2x + \frac{1}{2}
[/m]
[m]
y^2 = 4x + 1
[/m]
[m]
y = \sqrt{4x + 1}
[/m]
2) [m]\frac{y^2}{2} = -C_1 x + C_2[/m]
Подставляем начальные условия [m] y(0) = 1 [/m]:
[m]
\frac{1^2}{2} = 0 + C_2
[/m]
[m]
C_2 = \frac{1}{2}
[/m]
Подставляем [m] y'(0) = 2 [/m]:
[m]
y'(x) = \frac{dy}{dx} = -\frac{C_1}{y}
[/m]
[m]
2 = -\frac{C_1}{1}
[/m]
[m]
C_1 = -2
[/m]
Таким образом:
[m]
\frac{y^2}{2} = 2x + \frac{1}{2}
[/m]
[m]
y^2 = 4x + 1
[/m]
[m]
y = ± \sqrt{4x + 1}
[/m]