Задача 77715 решить дифференциальное уравнение...

Luitik

5 июня 2024 г. в 08:19

решить дифференциальное уравнение yy''+(y')²=0 y(0)=1 y'(0)=2

admin

6 июня 2024 г. в 09:18

1. Дифференциальное уравнение: $y y'' + (y')^2 = 0$
2. Начальные условия:
$y(0) = 1$
$y'(0) = 2$

### Решение:

1. Переобозначим $y' = p$ (где $p = \frac{dy}{dx}$).
Тогда $\frac{dp}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} = y''$.

2. Перепишем наше дифференциальное уравнение с новыми обозначениями:
$y \frac{dp}{dx} + p^2 = 0$

3. Сделаем замену переменной $x$ на $y$:
$p = \frac{dy}{dx} \rightarrow dx = \frac{dy}{p}$
и
$\frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}$

4. Подставим в уравнение:
$y p \frac{dp}{dy} + p^2 = 0$
$y p \frac{dp}{dy} = -p^2$
$y \frac{dp}{dy} = -p$
$\frac{dp}{dy} = -\frac{p}{y}$

5. Решим это дифференциальное уравнение методом разделения переменных:
$\frac{dp}{p} = -\frac{dy}{y}$
Интегрируем обе части:
$\int \frac{1}{p} dp = -\int \frac{1}{y} dy$
$\ln|p| = -\ln|y| + C$
Упрощаем:
$\ln|p| + \ln|y| = C$
$\ln|py| = C$
$|py| = e^C \text{ или } py = \pm e^C$
Обозначим новую константу $C_1 = e^C$:
$p = \frac{C_1}{y} \text{ или } p = -\frac{C_1}{y}$

6. Распишем решение для каждого случая:
$\frac{dy}{dx} = \frac{C_1}{y}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{C_1}{y}$

7. Решим каждое из уравнений:

а)
$y \frac{dy}{dx} = C_1$
$y dy = C_1 dx$
Интегрируем:
$\int y \ dy = \int C_1 \ dx$
$\frac{y^2}{2} = C_1 x + C_2$

б)
$y \frac{dy}{dx} = -C_1$
$y dy = -C_1 dx$
Интегрируем:
$\int y \ dy = -\int C_1 \ dx$
$\frac{y^2}{2} = -C_1 x + C_2$

### Найдем постоянные $C_1$ и $C_2$ из начальных условий:

$y(0) = 1\ \text{и}\ y'(0) = 2$

#### Рассмотрим каждое уравнение:

1) $\frac{y^2}{2} = C_1 x + C_2$

Подставляем начальные условия $y(0) = 1$:

$\frac{1^2}{2} = 0 + C_2$
$C_2 = \frac{1}{2}$

Подставляем $y'(0) = 2$:

$y'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{C_1}{y}$
$2 = \frac{C_1}{1}$
$C_1 = 2$

Таким образом:
$\frac{y^2}{2} = 2x + \frac{1}{2}$
$y^2 = 4x + 1$
$y = \sqrt{4x + 1}$

2) $\frac{y^2}{2} = -C_1 x + C_2$

Подставляем начальные условия $y(0) = 1$:

$\frac{1^2}{2} = 0 + C_2$
$C_2 = \frac{1}{2}$

Подставляем $y'(0) = 2$:

$y'(x) = \frac{dy}{dx} = -\frac{C_1}{y}$
$2 = -\frac{C_1}{1}$
$C_1 = -2$

Таким образом:
$\frac{y^2}{2} = 2x + \frac{1}{2}$
$y^2 = 4x + 1$
$y = ± \sqrt{4x + 1}$