Задача 77711 Можете решить дифференциальное уравнение...
Условие
y'' + 2y'= sin x + cos x
Решение
Неоднородное уравнение 2 порядка.
Решаем однородное уравнение:
y'' + y' = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + k = 0
k1 = 0; k2 = -1
Решение однородного уравнения:
y(о) = C1 + C2*e^(-x)
Находим частное решение неоднородного уравнения:
y(н) = A*sin x + B*cos x
y'(н) = A*cos x - B*sin x
y''(н) = -A*sin x - B*cos x
Подставляем в уравнение:
-A*sin x - B*cos x + 2*(A*cos x - B*sin x) = sin x + cos x
(-A - 2B)*sin x + (2A - B)*cos x = sin x + cos x
Составляем систему:
{ -A - 2B = 1
{ 2A - B = 1
Умножаем 1 уравнение на 2:
{ -2A - 4B = 2
{ 2A - B = 1
Складываем уравнения:
0A - 4B - B = 3
-5B = 3
B = -3/5 = -0,6
Подставляем в любое уравнение:
2A - (-0,6) = 1
2A = 1 - 0,6 = 0,4
A = 0,2
Решение неоднородного уравнения:
y(н) = 0,2*sin x - 0,6*cos x
Общее решение уравнения:
y = y(о) + y(н) = C1 + C2*e^(-x) + 0,2*sin x - 0,6*cos x