Задача 77711 Можете решить дифференциальное уравнение...

Shajov

5 июня 2024 г. в 04:21

Можете решить дифференциальное уравнение
y'' + 2y'= sin x + cos x

Удачник66

5 июня 2024 г. в 05:04

★

y'' + 2y'= sin x + cos x
Неоднородное уравнение 2 порядка.
Решаем однородное уравнение:
y'' + y' = 0
Характеристическое уравнение:
k² + k = 0
k1 = 0; k2 = –1
Решение однородного уравнения:
y(о) = C1 + C2·e^–x
Находим частное решение неоднородного уравнения:
y(н) = A·sin x + B·cos x
y'(н) = A·cos x – B·sin x
y''(н) = –A·sin x – B·cos x
Подставляем в уравнение:
–A·sin x – B·cos x + 2·(A·cos x – B·sin x) = sin x + cos x
(–A – 2B)·sin x + (2A – B)·cos x = sin x + cos x
Составляем систему:
{ –A – 2B = 1
{ 2A – B = 1
Умножаем 1 уравнение на 2:
{ –2A – 4B = 2
{ 2A – B = 1
Складываем уравнения:
0A – 4B – B = 3
–5B = 3
B = –3/5 = –0,6
Подставляем в любое уравнение:
2A – (–0,6) = 1
2A = 1 – 0,6 = 0,4
A = 0,2
Решение неоднородного уравнения:
y(н) = 0,2·sin x – 0,6·cos x
Общее решение уравнения:
y = y(о) + y(н) = C1 + C2·e^–x + 0,2·sin x – 0,6·cos x