Задача 77707 решить интегралы под номером 2,3,9,10...
Условие
2,3,9,10
Решение
Решаем заменой y = sin x; dy = cos x dx
[m]\int arctg\ y\ dy[/m]
Этот интеграл решается по частям.
u = arctg y; dv = dy; du = dy/(1 + y^2); v = y
[m]\int u\ dv = u \cdot v - \int v\ du[/m]
Подставляем:
[m]\int arctg\ y\ dy = y \cdot arctg\ y - \int \frac{y\ dy}{1 + y^2}[/m]
Последний интеграл решается опять заменой:
t = 1 + y^2; dt = 2y dy; y dy = 1/2 dt
[m]\int arctg\ y\ dy = y \cdot arctg\ y - \int \frac{y\ dy}{1 + y^2} = y \cdot arctg\ y - \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t}=[/m]
[m]= y \cdot arctg\ y - \frac{1}{2} \ln |t| + C = y \cdot arctg\ y - \ln \sqrt{1 + y^2} + C=[/m]
[m]= \sin x \cdot arctg\ \sin x - \ln \sqrt{1 + \sin^2 x} + C[/m]
3) [m]\int \frac{x^3 dx}{1+x^4}[/m]
Решается заменой: y = 1 + x^4; dy = 4x^3 dx; x^3 dx = 1/4 dy
[m]\int \frac{x^3 dx}{1+x^4} = \frac{1}{4} \int \frac{dy}{y} = \frac{1}{4} \ln |y| + C = \frac{1}{4} \ln (1+x^4) +C= \ln \sqrt[4]{1+x^4} +C[/m]
9) [m]\int \frac{arcsin\ \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx[/m]
Решается заменой y = sqrt(x); dy = dx/(2sqrt(x)); dx/sqrt(x) = 2dy
[m]\int \frac{arcsin\ \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx = \int arcsin\ y\ 2dy = 2\int arcsin\ y\ dy[/m]
Этот интеграл решается по частям.
u = arcsin y; dv = dy; du = dy/sqrt(1 - y^2); v = y
[m]\int u\ dv = u \cdot v - \int v\ du[/m]
Подставляем:
[m]2\int arcsin\ y\ dy = 2(y \cdot arcsin\ y - \int \frac{y\ dy}{\sqrt{1 - y^2}})[/m]
Последний интеграл решается опять заменой:
t = 1 - y^2; dt = -2y dy; y dy = -1/2 dt
[m]2\int arcsin\ y\ dy = 2(y \cdot arcsin\ y - \int \frac{y\ dy}{\sqrt{1 - y^2}}) = 2(y \cdot arcsin\ y - \int (-\frac{dt}{2\sqrt{t}})) =[/m]
[m]= 2(y \cdot arcsin\ y + \sqrt{t}) + C= 2y \cdot arcsin\ y + 2\sqrt{1-y^2} +C =[/m]
[m]= 2\sqrt{x} \cdot arcsin\ \sqrt{x} + 2\sqrt{1-x} +C [/m]
10) [m]\int \frac{3e^{x}\ dx}{\sqrt{e^{2x} + 4}}[/m]
Решается заменой y = e^(x); dy = e^(x) dx
[m]\int \frac{3e^{x}\ dx}{\sqrt{e^{2x} + 4}}= 3 \int \frac{dy}{\sqrt{y^2 + 4}} = 3 \ln\ |y + \sqrt{y^2 + 4}| + C=3 \ln\ |e^{x} + \sqrt{e^{2x} + 4}| + C[/m]