Воспользуемся признаком сравнения.
Наш ряд аналогичен ряду:
\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^5}}{n^3} = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{5/2}}{n^3} = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}
Это обобщённый гармонический ряд вида ∑ 1/nk
Так как k = 1/2 < 1, ряд расходится.
Значит, наш ряд тоже расходится.
б) \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{2n}
Ряд из модулей:
\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2n}
Рассмотрим предел по признаку Даламбера:
\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{2(n+1)} : \frac{x^{n}}{2n} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{x^{n}} \cdot \frac{2n}{2n+1} = x \cdot 1 = x
По признаку Даламбера, если \lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} < 1, то ряд сходится.
Область сходимости ряда: |x| < 1
Ответ: x ∈ (–1; 1)