Loading web-font TeX/Size1/Regular
Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 77705 Исследовать на сходимость ряд, найти...

Условие

Исследовать на сходимость ряд, найти область сходимости ряда

математика ВУЗ 153

Решение

а) \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^5}}{n^3-1}
Воспользуемся признаком сравнения.
Наш ряд аналогичен ряду:
\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^5}}{n^3} = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{5/2}}{n^3} = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}
Это обобщённый гармонический ряд вида ∑ 1/nk
Так как k = 1/2 < 1, ряд расходится.
Значит, наш ряд тоже расходится.

б) \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{2n}
Ряд из модулей:
\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2n}
Рассмотрим предел по признаку Даламбера:
\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{2(n+1)} : \frac{x^{n}}{2n} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{x^{n}} \cdot \frac{2n}{2n+1} = x \cdot 1 = x
По признаку Даламбера, если \lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} < 1, то ряд сходится.
Область сходимости ряда: |x| < 1
Ответ: x ∈ (–1; 1)

Обсуждения

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК