Задача 77705 Исследовать на сходимость ряд, найти...

Girl

5 июня 2024 г. в 09:56

Исследовать на сходимость ряд, найти область сходимости ряда

Удачник66

5 июня 2024 г. в 10:38

★

а) [m]\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^5}}{n^3-1}[/m]
Воспользуемся признаком сравнения.
Наш ряд аналогичен ряду:
[m]\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^5}}{n^3} = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{5/2}}{n^3} = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}[/m]
Это обобщённый гармонический ряд вида ∑ 1/n^k
Так как k = 1/2 < 1, ряд расходится.
Значит, наш ряд тоже расходится.

б) [m]\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{2n} [/m]
Ряд из модулей:
[m]\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2n} [/m]
Рассмотрим предел по признаку Даламбера:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{2(n+1)} : \frac{x^{n}}{2n} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{x^{n}} \cdot \frac{2n}{2n+1} = x \cdot 1 = x[/m]
По признаку Даламбера, если [m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} < 1[/m], то ряд сходится.
Область сходимости ряда: |x| < 1
Ответ: x ∈ (–1; 1)