Задача 77704 Вычислить определённый интеграл ( 1...
Условие
Решение
Сначала нужно выделить целую часть, для этого раскрываем скобки в знаменателе:
x(x + 1)(x - 2) = (x^2 + x)(x - 2) = x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x = x^3 - x^2 - 2x
[m]\int \frac{3x^3 - x^2 - 12x - 2}{x^3 - x^2 - 2x} dx = \int \frac{3(x^3 - x^2 - 2x) + 3x^2 + 6x - x^2 - 12x - 2}{x^3 - x^2 - 2x} dx=[/m]
[m]= \int (3 + \frac{2x^2 - 6x - 2}{x^3 - x^2 - 2x}) dx= 3x + \int \frac{2x^2 - 6x - 2}{x^3 - x^2 - 2x} dx[/m]
Теперь решаем методом неопределенных коэффициентов.
В знаменателе возвращаемся к произведению:
[m]3x + \int \frac{2x^2 - 6x - 2}{x(x + 1)(x - 2)} dx= 3x + \int (\frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x+1} + \frac{A_3}{x-2}) dx[/m]
Складываем дроби, приводим к общему знаменателю:
[m]\frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x+1} + \frac{A_3}{x-2} = \frac{A_1(x+1)(x-2) + A_2x(x-2) + A_3x(x+1)}{x(x + 1)(x - 2)} = \frac{A_1x^2 - A_1x - 2A_1 + A_2x^2 - 2A_2x + A_3x^2 + A_3x}{x(x + 1)(x - 2)} =[/m]
[m]= \frac{(A_1 + A_2 + A_3)x^2 + (-A_1 - 2A_2 + A_3)x + (- 2A_1)}{x(x + 1)(x - 2)} = \frac{2x^2 - 6x - 2}{x(x + 1)(x - 2)}[/m]
Составляем систему по степеням:
{ A_1 + A_2 + A_3 = 2
{ -A_1 - 2A_2 + A_3 = -6
{ - 2A_1 = -2
Из 3 уравнения [b]A_1 = 1[/b], подставляем в 1 и 2 уравнения:
{ 1 + A_2 + A_3 = 2
{ -1 - 2A_2 + A_3 = -6
Приводим подобные:
{ A_2 + A_3 = 1
{ - 2A_2 + A_3 = -5
Умножаем 1 уравнение на 2:
{ 2A_2 + 2A_3 = 2
{ - 2A_2 + A_3 = -5
Складываем уравнения:
0A_2 + 3A_3 = -3
[b]A_3 = -1[/b]
Подставляем в 1 уравнение:
A_2 - 1 = 1
[b]A_2 = 2[/b]
Возвращаемся к интегралу:
[m]3x + \int (\frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x+1} + \frac{A_3}{x-2}) dx = [/m]
[m]= 3x + \int (\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-2}) dx = 3x + \ln |x| + 2\ln |x+1| - \ln |x-2| + C[/m]
2) [m]\int \limits_{-\pi/2}^{\pi/2} x \sin x dx[/m]
Решаем методом по частям:
u = x; dv = sin x dx; du = dx; v = -cos x
[m]\int u\ dv = u \cdot v - \int v\ du[/m]
Подставляем:
[m]\int \limits_{-\pi/2}^{\pi/2} x \sin x dx = -x \cos x\ |_{-\pi/2}^{\pi/2} - \int \limits_{-\pi/2}^{\pi/2} (-\cos x)dx = [/m]
[m]= -\frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{2} - [-(-\frac{\pi}{2}) \cdot \cos (-\frac{\pi}{2})] + \sin x\ |_{-\pi/2}^{\pi/2}= 0 - 0 + \sin \frac{\pi}{2} - \sin (-\frac{\pi}{2}) = 1 + 1 = 2[/m]