Задача 77695 Исследовать сходимость ряда. 12....
Условие
12. [m]\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n^2}[/m]
Решение
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{n}{2n+1})^{n^2}} = [/m]
[m]\lim \limits_{n \to \infty} (\frac{n}{2n+1})^{n} = \lim \limits_{n \to \infty} (\frac{1}{2} \cdot \frac{n}{n+1/2})^{n} = [/m]
[m]= \frac{1}{2} \cdot \lim \limits_{n \to \infty} (\frac{n+1/2-1/2}{n+1/2})^{n+1/2-1/2} = [/m]
[m]\frac{1}{2} \cdot \lim \limits_{n \to \infty} (1 - \frac{1/2}{n+1/2})^{n+1/2} : (1 - \frac{1/2}{n+1/2})^{1/2} =[/m]
Обобщённый 2 Замечательный предел: [m]\lim \limits_{z \to \infty} (1 + \frac{k}{z})^{z} = e^{k}[/m]
В нашем случае:
[m]\frac{1}{2} \cdot \lim \limits_{n \to \infty} (1 - \frac{1/2}{n+1/2})^{n+1/2} : (1 - \frac{1/2}{n+1/2})^{1/2} = [/m]
[m]=\frac{1}{2} \cdot e^{-1/2} : \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt{1 - \frac{1/2}{n+1/2}} =[/m]
[m]= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{e}} : \sqrt{1 - 0} = \frac{1}{2\sqrt{e}} < 1[/m]
По признаку Коши, если этот предел меньше 1, то ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.