Задача 77695 Исследовать сходимость ряда. 12....

ales

3 июня 2024 г. в 05:43

Исследовать сходимость ряда.

12. $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n^2}$

Удачник66

3 июня 2024 г. в 07:30

★

Найдём предел:
$\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{n}{2n+1})^{n^2}} =$
$\lim \limits_{n \to \infty} (\frac{n}{2n+1})^{n} = \lim \limits_{n \to \infty} (\frac{1}{2} \cdot \frac{n}{n+1/2})^{n} =$
$= \frac{1}{2} \cdot \lim \limits_{n \to \infty} (\frac{n+1/2-1/2}{n+1/2})^{n+1/2-1/2} =$
$\frac{1}{2} \cdot \lim \limits_{n \to \infty} (1 - \frac{1/2}{n+1/2})^{n+1/2} : (1 - \frac{1/2}{n+1/2})^{1/2} =$
Обобщённый 2 Замечательный предел: $\lim \limits_{z \to \infty} (1 + \frac{k}{z})^{z} = e^{k}$
В нашем случае:
$\frac{1}{2} \cdot \lim \limits_{n \to \infty} (1 - \frac{1/2}{n+1/2})^{n+1/2} : (1 - \frac{1/2}{n+1/2})^{1/2} =$
$=\frac{1}{2} \cdot e^{-1/2} : \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt{1 - \frac{1/2}{n+1/2}} =$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{e}} : \sqrt{1 - 0} = \frac{1}{2\sqrt{e}} < 1$
По признаку Коши, если этот предел меньше 1, то ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.