Задача 77683 ...

65fabeb227f98b44f18c37d9

6/2/2024 4:14:52 AM

Найти интеграл: ∫ (2+3x)cos(x/3) dx

5f282cfba9074b3a3bc0f013

6/2/2024 9:02:32 AM

★

Для нахождения интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Пусть:

[m] u = 2 + 3x [/m]
[m] dv = \cos\frac{x}{3} \, dx [/m]

Тогда найдём производные и неопределенные интегралы этих функций:

[m] du = 3 \, dx [/m]
[m] v = 3\sin\frac{x}{3} [/m]

Используя формулу интегрирования по частям:

[m] \int u \, dv = uv - \int v \, du [/m]

Подставляем наши функции:

[m] \int (2 + 3x) \cos\frac{x}{3} \, dx = (2 + 3x) \cdot 3 \sin\frac{x}{3} - \int 3 \sin\frac{x}{3} \cdot 3 \, dx [/m]
[m] = 3(2 + 3x)\sin\frac{x}{3} - 9 \int \sin\frac{x}{3} \, dx [/m]

Теперь найдём интеграл от оставшейся части:

[m] \int \sin\frac{x}{3} \, dx = -3 \cos\frac{x}{3} + C [/m]

Итак, подставляем это выражение:

[m] = 3(2 + 3x)\sin\frac{x}{3} - 9(-3\cos\frac{x}{3}) [/m]
[m] = 3(2 + 3x)\sin\frac{x}{3} + 27\cos\frac{x}{3} + C [/m]

Ответ:

[m] 3(2 + 3x)\sin\frac{x}{3} + 27\cos\frac{x}{3} + C [/m]