Задача 77682 Расстояние между пунктами А и Б равно...
Условие
Решение
- Расстояние между пунктами А и Б: 130 км
- Скорость первого велосипедиста: [m]v_1[/m]
- Скорость второго велосипедиста: [m]v_2 = v_1 + 2[/m] км/ч
- Время задержки старта второго велосипедиста: 40 минут (или [m] \frac{2}{3} [/m] часа)
- Место встречи: середина пути между А и Б, то есть 65 км от пункта А и 65 км от пункта Б
Решение:
1. Поскольку велосипедисты встретились на середине пути между А и Б, первый велосипедист проехал 65 км и второй велосипедист тоже проехал 65 км.
2. Пусть время движения первого велосипедиста до встречи равно [m]t[/m] часов.
3. Тогда время движения второго велосипедиста будет [m]t - \frac{2}{3}[/m] часа.
4. Используем формулу пути: [m] S = vt [/m], где [m]S[/m] - путь, [m]v[/m] - скорость, [m]t[/m] - время. Тогда для первого велосипедиста:
[m] 65 = v_1 \cdot t [/m]
5. Для второго велосипедиста, учитывая, что его скорость на 2 км/ч больше и он проехал 65 км:
[m] 65 = (v_1 + 2) \cdot \left(t - \frac{2}{3}\right) [/m]
6. Решим первую формулу относительно [m]v_1[/m]:
[m] v_1 = \frac{65}{t} [/m]
7. Подставляем [m] v_1 [/m] из первой формулы во вторую формулу:
[m] 65 = \left(\frac{65}{t} + 2\right) \cdot \left(t - \frac{2}{3}\right) [/m]
8. Упростим уравнение:
[m] 65 = \left(\frac{65 + 2t}{t}\right) \cdot \left(t - \frac{2}{3}\right) [/m]
9. Разложим скобки:
[m] 65 = \left(\frac{65 + 2t}{t}\right) \cdot t - \left(\frac{65 + 2t}{t}\right) \cdot \frac{2}{3} [/m]
[m] 65 = 65 + 2t - \left(\frac{65 + 2t}{t}\right) \cdot \frac{2}{3} [/m]
10. Умножим всё уравнение на 3t, чтобы избавиться от дробей:
[m] 195t = 195t + 6t^2 - 2(65 + 2t) [/m]
[m] 195t = 195t + 6t^2 - 130 - 4t [/m]
11. Упростим и решим относительно [m]t[/m]:
[m] 0 = 6t^2 - 4t - 130 [/m]
[m] 6t^2 - 4t - 130 = 0 [/m]
12. Решим квадратное уравнение, используя формулу:
[m] t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} [/m]
где [m]a = 6[/m], [m]b = -4[/m], [m]c = -130[/m]:
[m] t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 3120}}{12} [/m]
[m] t = \frac{4 \pm \sqrt{3136}}{12} [/m]
[m] t = \frac{4 \pm 56}{12} [/m]
13. Два решения:
[m] t = \frac{60}{12} = 5 [/m]
[m] t = \frac{-52}{12} \approx -4.33 \ (не имеет смысла, так как время не может быть отрицательным) [/m]
Ответ: [m] t = 5 [/m] часов
Первый велосипедист двигался 5 часов до встречи.
Все решения
Обозначим:
- Скорость первого велосипедиста: v1 км/ч
- Скорость второго велосипедиста: v2 км/ч
- Расстояние между А и Б: 130 км
- Время движения первого велосипедиста: t1 ч
Дано:
- v2 = v1 + 2 км/ч
- Велосипедисты встретились на середине пути, то есть каждый проехал 65 км.
Из условия задачи следует:
v1 × t1 = 65 (путь первого велосипедиста)
(v1 + 2) × (t1 - 0,667) = 65 (путь второго велосипедиста, учитывая, что он выехал на 40 минут или 0,667 часа позже)
Решая систему уравнений, получаем:
v1 = 13 км/ч
v2 = 15 км/ч
t1 = 5 ч
Таким образом, время движения первого велосипедиста составило 5 часов.