Задача 77673 ...

просто хороший человек

30 мая 2024 г. в 04:51

2.13 ∫₀ᵉ (3x² – 2x)e^4x dx

Удачник66

30 мая 2024 г. в 07:55

★

$\int \limits_0^{e} (3x^2-2x)e^{4x} dx$
Берем этот интеграл методом по частям.
$\int u\ dv = uv - \int v\ du$
u = 3x² – 2x; dv = e^4x dx; du = (6x – 2) dx; v = 1/4·e^4x
$\int \limits_0^{e} (3x^2-2x)e^{4x} dx = (3x^2 - 2x) \cdot \frac{1}{4} \cdot e^{4x}\ |_0^{e} - \int \limits_0^{e} \frac{1}{4} \cdot e^{4x}(6x-2)dx =$

$=(3e^2-2e) \cdot \frac{1}{4} \cdot e^{4e} - 0 \cdot \frac{1}{4} \cdot e^0 - \frac{1}{2} \cdot \int \limits_0^{e} (3x-1)e^{4x} dx$
Второй интеграл берем опять по частям.
u = 3x – 1 dx; dv = e^4x dx; du = 3 dx; v = 1/4·e^4x
$= \frac{3e^2-2e}{4} \cdot e^{4e} - (3x - 1) \cdot \frac{1}{4} \cdot e^{4x}\ |_0^{e} - \int \limits_0^{e} \frac{1}{4} \cdot e^{4x} \cdot 3 dx =$

$= \frac{3e^2-2e}{4} \cdot e^{4e} - (3e-1) \cdot \frac{1}{4} \cdot e^{4x} + (0-1) \cdot \frac{1}{4} \cdot e^0 - \frac{3}{4} \cdot \int \limits_0^{e} e^{4x} dx =$

$= \frac{3e^2-2e}{4} \cdot e^{4e} - \frac{3e-1}{4} \cdot e^{4e} - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot e^{4x}\ |_0^{e} + C=$

$= \frac{3e^2-2e - 3e + 1}{4} \cdot e^{4e} - \frac{1}{4} - \frac{3}{16}(e^{4e} - e^0) +C= \frac{3e^2-5e + 1}{4} \cdot e^{4e} - \frac{1}{4} - \frac{3}{16} \cdot e^{4e} + \frac{3}{16} + C=$

$= \frac{3e^2-5e + 1}{4} \cdot e^{4e}- \frac{3}{16} \cdot e^{4e} - \frac{4}{16} + \frac{3}{16} + C = \frac{12e^2-20e + 4}{16} \cdot e^{4e}- \frac{3}{16} \cdot e^{4e} - \frac{4}{16} + \frac{3}{16} + C =$

$= \frac{12e^2-20e + 4-3}{16} \cdot e^{4e}- \frac{1}{16} + C = \frac{12e^2-20e + 1}{16} \cdot e^{4e}- \frac{1}{16} + C$