Задача 77670 СО РЕШИМ В R : ;…;.ъ…‚ ’ ' ‘Ёё{‚п...

Ярч

30 мая 2024 г. в 07:38

СО РЕШИМ В R : ;…;.ъ…‚ ’ ' ‘Ёё{‚п Вариант 1) y'cosx =2 "‘ ' — 1 2) x–y+(x+y)y =0 | 1 gl Sx 3 3 ! 3)у = е — х + с055Х ‚ .а 2 4y — ^

Удачник66

30 мая 2024 г. в 03:23

★

1) Не знаю, как решать.

2) $x - y + (x + y) y' = 0$
$(x + y) y' = y - x$
$y' = \frac{y-x}{y+x}$
Замена t = y/x; y = t·x; y' = t'·x + t
$t' \cdot x + t = \frac{t \cdot x-x}{t \cdot x+x}$
$t' \cdot x + t = \frac{t-1}{t+1}$
$t' \cdot x = \frac{t-1}{t+1} - t$
$t' \cdot x = \frac{t-1-t^2-t}{t+1}$
$t' \cdot x = -\frac{t^2+1}{t+1}$
Уравнение с разделяющимися переменными.
$\frac{dt}{dx} \cdot x = -\frac{t^2+1}{t+1}$
$\frac{t+1}{t^2+1} dt = -\frac{dx}{x}$
Берем интегралы.
$\int \frac{t+1}{t^2+1} dt = \int \frac{t}{t^2+1} dt + \int \frac{1}{t^2+1} dt = \frac{1}{2} \cdot \ln |t^2+1| + arctg\ t$
$\int (-\frac{dx}{x}) = -\ln |x| + ln C$
Получаем:
$\frac{1}{2} \cdot \ln |t^2+1| + arctg\ t = -\ln |x| + ln C$
$\ln \sqrt{(y/x)^2+1} + arctg\ (\frac{y}{x}) = \ln |\frac{C}{x}|$
Получили функцию в неявной форме, в явной форме y = f(x) получить не получается.

3) y'' = e^5x – x³ + cos 3x
Здесь можно просто взять два интеграла.
$y' = \frac{1}{5}e^{5x} - \frac{x^4}{4} + \frac{1}{3} \sin 3x + C_1$
$y = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}e^{5x} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^5}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} (-\cos 3x) + C_1 \cdot x + C_2$
$y = \frac{1}{25} e^{5x} - \frac{x^5}{20} - \frac{1}{9} \cos 3x + C_1 \cdot x + C_2$

4) y'' – 2y' = x² – x
Неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем однородное уравнение
y'' – 2y' = 0
Характеристическое уравнение:
k² – 2k = 0
k1 = 0; k2 = 2
Решение однородного уравнения:
y(о) = C1 + C2·e^2x
Находим частное решение неоднородного уравнения:
Так как один из корней характеристического уравнения k1 = 0, то решение:
y(н) = x·(A₁·x² + A₂·x + A3) = A₁·x³ + A₂·x² + A₃·x
y' = 3A₁·x² + 2A₂·x + A₃
y'' = 6A₁·x + 2A₂
Подставляем в уравнение:
6A₁·x + 2A₂ + 2(3A₁·x² + 2A₂·x + A₃) = x² – x
6A₁·x² + (6A₁ + 4A₂)·x + (2A₂ + 2A₃) = x² – x
Составляем систему по показателям степеней:
{ 6A₁ = 1
{ 6A₁ + 4A₂ = –1
{ 2A₂ + 2A₃ = 0
Решаем:
{ A₁ = 1/6
{ 4A₂ = –1 – 1 = –2
{ A₃ = –A₂
Получаем:
{ A₁ = 1/6
{ A₂ = –1/2
{ A₃ = 1/2
Частное решение неоднородного уравнения:
y(н) = 1/6·x³ – 1/2·x² + 1/2·x
Полное решение неоднородного уравнения:
y = y(о) + y(н) = C1 + C2·e^2x + 1/6·x³ – 1/2·x² + 1/2·x