Задача 77670 СО РЕШИМ В R : ;…;.ъ…‚ ’ ' ‘Ёё{‚п...
Условие
Решение
2) [m]x - y + (x + y) y' = 0[/m]
[m](x + y) y' = y - x[/m]
[m]y' = \frac{y-x}{y+x}[/m]
Замена t = y/x; y = t*x; y' = t'*x + t
[m]t' \cdot x + t = \frac{t \cdot x-x}{t \cdot x+x}[/m]
[m]t' \cdot x + t = \frac{t-1}{t+1}[/m]
[m]t' \cdot x = \frac{t-1}{t+1} - t[/m]
[m]t' \cdot x = \frac{t-1-t^2-t}{t+1}[/m]
[m]t' \cdot x = -\frac{t^2+1}{t+1}[/m]
Уравнение с разделяющимися переменными.
[m]\frac{dt}{dx} \cdot x = -\frac{t^2+1}{t+1}[/m]
[m]\frac{t+1}{t^2+1} dt = -\frac{dx}{x}[/m]
Берем интегралы.
[m]\int \frac{t+1}{t^2+1} dt = \int \frac{t}{t^2+1} dt + \int \frac{1}{t^2+1} dt = \frac{1}{2} \cdot \ln |t^2+1| + arctg\ t[/m]
[m]\int (-\frac{dx}{x}) = -\ln |x| + ln C[/m]
Получаем:
[m]\frac{1}{2} \cdot \ln |t^2+1| + arctg\ t = -\ln |x| + ln C[/m]
[m]\ln \sqrt{(y/x)^2+1} + arctg\ (\frac{y}{x}) = \ln |\frac{C}{x}|[/m]
Получили функцию в неявной форме, в явной форме y = f(x) получить не получается.
3) y'' = e^(5x) - x^3 + cos 3x
Здесь можно просто взять два интеграла.
[m]y' = \frac{1}{5}e^{5x} - \frac{x^4}{4} + \frac{1}{3} \sin 3x + C_1[/m]
[m]y = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}e^{5x} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^5}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} (-\cos 3x) + C_1 \cdot x + C_2[/m]
[m]y = \frac{1}{25} e^{5x} - \frac{x^5}{20} - \frac{1}{9} \cos 3x + C_1 \cdot x + C_2[/m]
4) y'' - 2y' = x^2 - x
Неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем однородное уравнение
y'' - 2y' = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 2k = 0
k1 = 0; k2 = 2
Решение однородного уравнения:
y(о) = C1 + C2*e^(2x)
Находим частное решение неоднородного уравнения:
Так как один из корней характеристического уравнения k1 = 0, то решение:
y(н) = x*(A_1*x^2 + A_2*x + A3) = A_1*x^3 + A_2*x^2 + A_3*x
y' = 3A_1*x^2 + 2A_2*x + A_3
y'' = 6A_1*x + 2A_2
Подставляем в уравнение:
6A_1*x + 2A_2 + 2(3A_1*x^2 + 2A_2*x + A_3) = x^2 - x
6A_1*x^2 + (6A_1 + 4A_2)*x + (2A_2 + 2A_3) = x^2 - x
Составляем систему по показателям степеней:
{ 6A_1 = 1
{ 6A_1 + 4A_2 = -1
{ 2A_2 + 2A_3 = 0
Решаем:
{ A_1 = 1/6
{ 4A_2 = -1 - 1 = -2
{ A_3 = -A_2
Получаем:
{ A_1 = 1/6
{ A_2 = -1/2
{ A_3 = 1/2
Частное решение неоднородного уравнения:
y(н) = 1/6*x^3 - 1/2*x^2 + 1/2*x
Полное решение неоднородного уравнения:
y = y(о) + y(н) = C1 + C2*e^(2x) + 1/6*x^3 - 1/2*x^2 + 1/2*x