Задача 77668 Вычислить границу функции. lim(1 -...
Условие
lim(1 - cos(x^2 + y^2))/((x^2 + y^2)x^2 y^2)
x->0
y->0
Решение
Применим формулу косинуса двойного угла:
cos 2z = 1 - 2sin^2 z
1 - cos 2z = 2sin^2 z
В нашем случае:
[m]z = \frac{x^2 + y^2}{2}[/m]
[m]1 - \cos (x^2 + y^2) = 2 \sin^2 \frac{x^2 + y^2}{2}[/m]
Дальше, есть 1 Замечательный предел:
[m]\lim \limits_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = 1[/m]
Отсюда:
[m]\lim \limits_{x \to 0; y \to 0} \frac{1 - \cos (x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2) \cdot x^2 y^2} = \lim \limits_{x \to 0; y \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x^2 + y^2}{2}}{2 \cdot \frac{x^2 + y^2}{2} \cdot x^2 y^2}=[/m]
[m]= \lim \limits_{x \to 0; y \to 0} \frac{\sin \frac{x^2 + y^2}{2}}{\frac{x^2 + y^2}{2}} \cdot \lim \limits_{x \to 0; y \to 0} \frac{\sin \frac{x^2 + y^2}{2}}{\frac{x^2 + y^2}{2}} \cdot \lim \limits_{x \to 0; y \to 0} \frac{x^2 + y^2}{2x^2 y^2} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{0} = +\infty[/m]
Получается, что в окрестности 0 функция неограниченна.