Задача 77661 2. Найти значение 7, при котором матрица...
Условие
Решение
Если попытаться разложить определитель этой матрицы по 1 столбцу, то мы узнаем, что этот определитель равен 0 при любом значении λ.
[m]\begin{vmatrix}
3 & 1 & 1 & 4 \\
λ & 4 & 10 & 1 \\
1 & 7 & 17 & 3 \\
2 & 2 & 4 & 3 \\
\end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix}
4 & 10 & 1 \\
7 & 17 & 3 \\
2 & 4 & 3 \\
\end{vmatrix} + λ \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 4 \\
7 & 17 & 3 \\
2 & 4 & 3 \\
\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 4 \\
4 & 10 & 1 \\
2 & 4 & 3 \\
\end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 4 \\
4 & 10 & 1 \\
7 & 17 & 3 \\
\end{vmatrix}[/m]
Если вычислить любой из определителей 3 порядка, то они все окажутся равны 0.
1) [m]\begin{vmatrix}
4 & 10 & 1 \\
7 & 17 & 3 \\
2 & 4 & 3 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 4*17*3 + 1*7*4 + 2*10*3 - 1*17*2 - 3*7*10 - 4*4*3 = 204 + 28 + 60 - 34 - 210 - 48 = 0
2) [m]\begin{vmatrix}
1 & 1 & 4 \\
7 & 17 & 3 \\
2 & 4 & 3 \\
\end{vmatrix}=[/m]
= 1*17*3 + 7*4*4 + 1*3*2 - 2*17*4 - 1*7*3 - 1*3*4 = 51 + 112 + 6 - 136 - 21 - 12 = 0
3) [m]\begin{vmatrix}
1 & 1 & 4 \\
4 & 10 & 1 \\
2 & 4 & 3 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 1*10*3 + 4*4*4 + 1*1*2 - 4*10*2 - 3*1*4 - 1*1*4 = 30 + 64 + 2 - 80 - 12 - 4 = 0
4) [m]\begin{vmatrix}
1 & 1 & 4 \\
4 & 10 & 1 \\
7 & 17 & 3 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 1*10*3 + 4*4*17 + 1*1*7 - 4*10*7 - 1*1*17 - 1*4*3 = 30 + 272 + 7 - 280 - 17 - 12 = 0
Значит, осталось найти такую λ, чтобы определитель 3х3 с ней был равен 0.
Тогда ранг матрицы будет равен 2. Вырежем, например, последнюю строку и столбец.
[m]\begin{vmatrix}
3 & 1 & 1 \\
λ & 4 & 10 \\
1 & 7 & 17 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 3*4*17 + λ*1*7 + 1*1*10 - 1*4*1 - λ*1*17 - 3*7*10 = 204 + 7λ + 10 - 4 - 17λ - 210 = -10λ = 0
λ = 0
Ответ: При λ = 0 ранг матрицы равен 2.
Все решения
