Задача 77651 Найти пределы функции не используясь...

Faza_234380827

27 мая 2024 г. в 03:23

Найти пределы функции не используясь правилом лопиталя

Удачник66

27 мая 2024 г. в 08:42

★

Сделал, что смог.

1) $\lim \limits_{x \to -2} \frac{x^2-4}{x^2+5x+6} = \lim \limits_{x \to -2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \lim \limits_{x \to -2} \frac{x-2}{x+3} = \frac{-2-2}{-2+3} = \frac{-4}{1} = -4$

2) $\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^3+3x^2-1}{2-2x^3} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1+3/x-1/x^3}{2/x^3-2} = \frac{1+0-0}{0-2} = -\frac{1}{2}$

3) $\lim \limits_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{\sqrt{x^2+8}-3} = \lim \limits_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x^2+3}-2)(\sqrt{x^2+3}+2)(\sqrt{x^2+8}+3)}{(\sqrt{x^2+8}-3)(\sqrt{x^2+8}+3)(\sqrt{x^2+3}+2)} =$
$=\lim \limits_{x \to 1} \frac{(x^2+3-4)(\sqrt{x^2+8}+3)}{(x^2+8-9)(\sqrt{x^2+3}+2)} = \lim \limits_{x \to 1} \frac{(x^2-1)(\sqrt{x^2+8}+3)}{(x^2-1)(\sqrt{x^2+3}+2)} = \lim \limits_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2+8}+3}{\sqrt{x^2+3}+2} =$
$=\frac{\sqrt{1^2+8}+3}{\sqrt{1^2+3}+2} = \frac{\sqrt{9}+3}{\sqrt{4}+2} = \frac{3+3}{2+2} = \frac{3}{2}$

5) $\lim \limits_{x \to 0} \frac{arctg\ 5x}{\sin 3x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{arctg\ 5x}{5x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{5x}{3x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3}$
Используем 1 Замечательный предел: $\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
И следствие из него: $\lim \limits_{x \to 0} \frac{arctg\ x}{x} = 1$

6) $\lim \limits_{x \to 0} \frac{x^2}{1- \cos x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{x^2}{1- \cos (2 \cdot x/2)} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{x^2}{1- (1 - 2 \sin^2 (x/2))} =$
$= \lim \limits_{x \to 0} \frac{x^2}{2 \sin^2 (x/2)} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{2(x^2/4)}{\sin^2 (x/2)} = 2 \lim \limits_{x \to 0} \frac{(x/2)^2}{\sin^2 (x/2)}= 2 \cdot 1 = 2$
Тоже используем 1 Замечательный предел.

7) $\lim \limits_{x \to \infty} (\frac{2x+1}{2x+4})^{5x} = \lim \limits_{x \to \infty} (\frac{2x+4-3}{2x+4})^{5x} = \lim \limits_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{2x+4})^{5/2(2x+4)-5/2 \cdot 4} =$
$= e^{-3 \cdot 5/2} : \lim \limits_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{2x+4})^{10} = e^{-15/2} : (1 - 0)^{10} = \frac{1}{e^{15/2}}$
Используем обобщенный 2 Замечательный предел: $\lim \limits_{x \to \infty} (1 + \frac{k}{x})^{nx} = e^{kn}$