Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 77651 Найти пределы функции не используясь...

Условие

Найти пределы функции не используясь правилом лопиталя

математика ВУЗ 132

Решение

Сделал, что смог.

1) \lim \limits_{x \to -2} \frac{x^2-4}{x^2+5x+6} = \lim \limits_{x \to -2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \lim \limits_{x \to -2} \frac{x-2}{x+3} = \frac{-2-2}{-2+3} = \frac{-4}{1} = -4

2) \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^3+3x^2-1}{2-2x^3} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1+3/x-1/x^3}{2/x^3-2} = \frac{1+0-0}{0-2} = -\frac{1}{2}

3) \lim \limits_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{\sqrt{x^2+8}-3} = \lim \limits_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x^2+3}-2)(\sqrt{x^2+3}+2)(\sqrt{x^2+8}+3)}{(\sqrt{x^2+8}-3)(\sqrt{x^2+8}+3)(\sqrt{x^2+3}+2)} =
=\lim \limits_{x \to 1} \frac{(x^2+3-4)(\sqrt{x^2+8}+3)}{(x^2+8-9)(\sqrt{x^2+3}+2)} = \lim \limits_{x \to 1} \frac{(x^2-1)(\sqrt{x^2+8}+3)}{(x^2-1)(\sqrt{x^2+3}+2)} = \lim \limits_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2+8}+3}{\sqrt{x^2+3}+2} =
=\frac{\sqrt{1^2+8}+3}{\sqrt{1^2+3}+2} = \frac{\sqrt{9}+3}{\sqrt{4}+2} = \frac{3+3}{2+2} = \frac{3}{2}

5) \lim \limits_{x \to 0} \frac{arctg\ 5x}{\sin 3x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{arctg\ 5x}{5x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{5x}{3x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3}
Используем 1 Замечательный предел: \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
И следствие из него: \lim \limits_{x \to 0} \frac{arctg\ x}{x} = 1

6) \lim \limits_{x \to 0} \frac{x^2}{1- \cos x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{x^2}{1- \cos (2 \cdot x/2)} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{x^2}{1- (1 - 2 \sin^2 (x/2))} =
= \lim \limits_{x \to 0} \frac{x^2}{2 \sin^2 (x/2)} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{2(x^2/4)}{\sin^2 (x/2)} = 2 \lim \limits_{x \to 0} \frac{(x/2)^2}{\sin^2 (x/2)}= 2 \cdot 1 = 2
Тоже используем 1 Замечательный предел.

7) \lim \limits_{x \to \infty} (\frac{2x+1}{2x+4})^{5x} = \lim \limits_{x \to \infty} (\frac{2x+4-3}{2x+4})^{5x} = \lim \limits_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{2x+4})^{5/2(2x+4)-5/2 \cdot 4} =
= e^{-3 \cdot 5/2} : \lim \limits_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{2x+4})^{10} = e^{-15/2} : (1 - 0)^{10} = \frac{1}{e^{15/2}}
Используем обобщенный 2 Замечательный предел: \lim \limits_{x \to \infty} (1 + \frac{k}{x})^{nx} = e^{kn}

Обсуждения

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК