Задача 77643 Найдите число целых решений неравенства...
Условие
Решение
Слева и справа числа положительные. При этом заметим, что:
[m]\sqrt{x^2-2x+1} = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|[/m]
[m]x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)[/m]
Получаем неравенство:
[m]|x-1| > |(x-1)(x-2)|[/m]
Заметим сразу, что x = 1 - не корень. При этом получится 0 > 0, что неверно.
Возможны 4 случая:
1)
{ x - 1 >= 0
{ (x - 1)(x - 2) >= 0
То есть x - 2 >= 0, x ∈ [2; +oo), тогда:
x - 1 > (x - 1)(x - 2)
x - 1 - (x - 1)(x - 2) > 0
(x - 1)*(1 - x + 2) > 0
(x - 1)(3 - x) > 0
x ∈ (1; 3)
С учётом того, что x ∈ [2; +oo), получаем:
[b]x ∈ [2; 3)[/b]
2)
{ x - 1 < 0
{ (x - 1)(x - 2) < 0
То есть:
{ x - 1 < 0
{ x - 2 > 0
Эта система решений не имеет.
3)
{ x - 1 >= 0
{ (x - 1)(x - 2) < 0
То есть:
{ x - 1 >= 0
{ x - 2 < 0
x ∈ (1; 2)
Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому:
[b]x ∈ (1; 2)[/b]
4)
{ x - 1 < 0
{ (x - 1)(x - 2) > 0
То есть:
{ x - 1 < 0
{ x - 2 < 0
x ∈ (-oo; 1)
-(x - 1) > (x - 1)(x - 2)
0 > (x - 1)(x - 2 + 1)
(x - 1)^2 < 0
Это неравенство решений не имеет.
Объединяем решения неравенства: x ∈ (1; 2) U [2; 3)
Получаем: x ∈ (1; 3)
Это решение содержит одно целое решение x = 2.
Ответ: 1
Все решения
x^2-2x+1 >0
[b]Это верно при любом х, кроме х=1[/b]
Левая и правая части положительны.
Возводим в квадрат
x^2-2x+1 > (x^2-3x+2) ^2
Так как
x^2-2x+1=(x-1)^2
x^2-3x+2=(x-1)*(x-2)
неравенство принимает вид:
(x-1)^2 > (x-1)^2*(x-2)^2
(x-1)^2*(x-2)^2-(x-1)^2 <0
(x-1)^2*((x-2)^2-1) <0 применяем формулу [r]a^2-b^2=(a-b)*(a+b)[/r]
(x-1)^2(*x-2-1)*(x-2+1) <0
(x-1)^3*(x-3) <0
__+__(1)___-__(3)__+__
x ∈ (1;3)
Решение неравенства удовлетворяет условию [b] при любом х, кроме х=1[/b]
x=2 - целое, принадлежащее промежутку (1;3)